数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[9]: 2点を結ぶ直線と点からの垂線の交点 / Page: 0]

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■21718 / inTopicNo.1)

　2点を結ぶ直線と点からの垂線の交点

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□投稿者/ くりお一般人(1回)-(2007/02/07(Wed) 18:40:40)

点x1,y1と点x2,y2を結ぶ直線に対し、
点x3,y3から一番近い直線上の座標を求める方法がわかりません。
数式とその解説を教えていただけると助かります。

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■21720 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 2点を結ぶ直線と点からの垂線の交点

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□投稿者/ 平木慎一郎大御所(663回)-(2007/02/07(Wed) 20:33:46)

■No21718に返信(くりおさんの記事)
> 点x1,y1と点x2,y2を結ぶ直線に対し、
> 点x3,y3から一番近い直線上の座標を求める方法がわかりません。
> 数式とその解説を教えていただけると助かります。

添え字ですと書きにくいのでx1,y1,x2,y2,x3,y3を順にa,b,c,d,e,fとします。
すると条件の直線は $2$y-b=\frac{d-b}{c-a}(x-a)$ ・・・①となることはご存
知のはずです。それに点(e,f)から最も近いものと言いますと、明らかに点(e,f)
から直線上に垂線を降ろした時の交点です。直交するに直線のそれぞれの傾き
の積は必ず-1になりますので垂線の方程式の傾きは $2$-\frac{c-a}{d-b}$ とな
ります。つまり方程式は $2$y-f=-\frac{c-a}{d-b}(x-e)$ ・・・②
①,②からx,ｙについて解いてください。（x,yに関する連立方程式）

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■21721 / inTopicNo.3)

　Re[1]: 2点を結ぶ直線と点からの垂線の交点

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□投稿者/ らすかる大御所(538回)-(2007/02/07(Wed) 20:37:32)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

点(x1,y1)と点(x2,y2)を通る直線の方程式は (x2-x1)(y-y1)=(y2-y1)(x-x1)
この直線に直交し、点(x3,y3)を通る直線の方程式は (y2-y1)(y-y3)=-(x2-x1)(x-x3)
この2式からx,yを求めれば、答が出ます。

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■21722 / inTopicNo.4)

　Re[2]: 2点を結ぶ直線と点からの垂線の交点

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□投稿者/ らすかる大御所(539回)-(2007/02/07(Wed) 20:41:32)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

ありゃ、思いっきりかぶってますね。

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■21742 / inTopicNo.5)

　Re[3]: 2点を結ぶ直線と点からの垂線の交点

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□投稿者/ くりお一般人(2回)-(2007/02/08(Thu) 12:51:17)

回答いただきありがとうございます。
答えの求め方は回答からわかりました。

回答とは別に、参考で探した計算方法で下記の方法があったのですが、
なぜこれで答えが求まるのか、元となる方程式がさっぱりわかりません。
どなたかわかる方がいらっしゃいましたら
アドバイスをお願い致します。

A = ( y1 - y2 ) / ( x1 * y2 - x2 * y1 )
B = ( x1 - x2 ) / ( x2 * y1 - x1 * y2 )
C = - B * x3 + A * y3
x = - ( A + B * C ) / ( A * A + B * B )
y = ( A * C - B ) / ( A * A + B * B )

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■21744 / inTopicNo.6)

　Re[4]: 2点を結ぶ直線と点からの垂線の交点

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□投稿者/ らすかる大御所(541回)-(2007/02/08(Thu) 14:41:21)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

計算はしていませんが、どういう方法でも基本的に結果は
変わらないはずなので、私のレスの方程式を解けば
その式と同じになるのではないでしょうか？

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■21808 / inTopicNo.7)

　Re[5]: 2点を結ぶ直線と点からの垂線の交点

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□投稿者/ くりお一般人(3回)-(2007/02/09(Fri) 09:04:59)

>らすかるさん
返答いただきありがとうございます。

継続の質問させて頂いた理由に、プログラムとして組み込む目的があり、
できれば簡単な数式の方がありがたいのです。
提示いただいた数式から回答を求めるプログラムを作ると
計算量が多いので、記載したサンプルを使用したいと考えております。
※サンプルのものは、直線上にx3,y3がないことの条件は省いています。

ですが、使用する上でなぜ答えが求まるのか不明のまま使用するのが怖いので
サンプルの数式で答えが求められる理由がわかる方がいれば
教えてほしいと思い、この掲示板に記載しました。

よろしくお願い致します。

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■21809 / inTopicNo.8)

　Re[6]: 2点を結ぶ直線と点からの垂線の交点

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□投稿者/ らすかる大御所(553回)-(2007/02/09(Fri) 10:20:35)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

私の書き方が悪かったのかも知れませんが、上で書いたことの意味が
通じなかったようですね。

計算が非常に面倒そうなのはやってみなくても明らかなので
とても自分で計算してみる気にはなれませんが、
元々サンプルの式は、基本的に私がResNo.2で書いた式から
作られたものと思われます。
つまり、私がResNo.2で書いた式からx,yの式を求め、整理すれば
サンプルとまったく同じ式になることが確認出来ると思いますので、
計算してみてください、という意味のことを書いたのですが、
計算してみましたか？

＞サンプルの数式で答えが求められる理由がわかる方がいれば教えてほしい

これは理由も何も、手を動かしてとても面倒な計算をして、手間さえかければ
確認出来ることです。（おそらく、手間をかけないと確認出来ないと思います。）
大変面倒なだけで、難しいことはありませんので、ご自分で計算されては
いかがでしょうか。

参考までに、一致を確認するためには、引き算するといいと思います。
私がResNo.2で書いた式からx,yの式を求めても、おそらくただちに
まったく同じ形の式にはならないでしょう。
そこで、出て来た式が x=○, y=△ だとしたら
サンプルの式から引いて、例えばxなら
-(A+B*C)/(A*A+B*B)-○
が0になることを確認すればいいですね。
分子分母を全部展開して通分・整理しなければなりませんので
かなり手間がかかると思いますが、必ず0になるはずです。
（一度通分したら、後は分子が0になることだけを確認すれば良いので
　分母はそれ以上計算する必要はありません。）

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■21818 / inTopicNo.9)

　Re[7]: 2点を結ぶ直線と点からの垂線の交点

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□投稿者/ くりお一般人(4回)-(2007/02/09(Fri) 13:32:24)

＞らすかるさん
返信ありがとうございます。

私なりに計算をしてみました。
実際の座標データを当てはめる分にはどちらも正しい答えを出しますが、
らすかるさんの書かれたResNo.2の数式とResNo.4の式が
イコールになってくれません。

ResNo.2の式をｙ＝の形に直して、ResNo.4のｙ＝の部分に当てはめて
私なりにやってみたのですが、単純な式の変形だけではできないと判断しました。

イメージ的に２辺の長さと角度のわかっている直角三角形に対し、
不明な1辺の長さを求めるのに、３平方の定理での答えと三角関数での演算の答えを
イコールでつないでいるようなイメージを私は持っています。
※実際の座標上の数値を入れれば答えは同じになるが、
　数式同士を引き算しても０にはならない。

なので、話は戻りますが、ResNo.4の数式で答えが求まる理由が
わかる方がおられましたら回答願いたいと思います。

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■21840 / inTopicNo.10)

　Re[8]: 2点を結ぶ直線と点からの垂線の交点

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□投稿者/ らすかる大御所(554回)-(2007/02/09(Fri) 23:07:14)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

2007/02/10(Sat) 12:08:47 編集(投稿者)

＞ResNo.2の式をｙ＝の形に直して、ResNo.4のｙ＝の部分に当てはめて
＞私なりにやってみたのですが、単純な式の変形だけではできないと判断しました。

最初から「式の変形では出せないものだ」と決めつけていませんか？

＞※実際の座標上の数値を入れれば答えは同じになるが、
＞　数式同士を引き算しても０にはならない。

そんなはずはありません。どんな座標を入れても同じになる単純な多項式の
恒等式ですから、数式同士を引き算すれば０になります。
もし０にならなかったら、残った変数に適当な数字を入れたときに
一致しないことになり、おかしいですね。

私が実際に式の変形で一致することを示さない限り、何度言っても
わかって頂けないようですので、yだけ私が計算します。
（x1=x2やy1=y2の場合は面倒なので無視します）

点(x1,y1)と点(x2,y2)を通る直線の方程式は (x2-x1)(y-y1)=(y2-y1)(x-x1)
この直線に直交し、点(x3,y3)を通る直線の方程式は (y2-y1)(y-y3)=-(x2-x1)(x-x3)

第１式から x=x1+(x2-x1)(y-y1)/(y2-y1)
第２式から x=x3-(y2-y1)(y-y3)/(x2-x1)
よって、yに関する方程式は
x1+(x2-x1)(y-y1)/(y2-y1)=x3-(y2-y1)(y-y3)/(x2-x1)
両辺に(y2-y1)(x2-x1)を掛けて
x1(y2-y1)(x2-x1)+(x2-x1)^2(y-y1)=x3(y2-y1)(x2-x1)-(y2-y1)^2(y-y3)
yを含む項と含まない項で分けて
(x2-x1)^2(y-y1)+(y2-y1)^2(y-y3)=x3(y2-y1)(x2-x1)-x1(y2-y1)(x2-x1)
{(x2-x1)^2+(y2-y1)^2}y-y1(x2-x1)^2-y3(y2-y1)^2=(x3-x1)(y2-y1)(x2-x1)
{(x2-x1)^2+(y2-y1)^2}y=(x3-x1)(y2-y1)(x2-x1)+y1(x2-x1)^2+y3(y2-y1)^2
∴y={(x3-x1)(y2-y1)(x2-x1)+y1(x2-x1)^2+y3(y2-y1)^2}/{(x2-x1)^2+(y2-y1)^2} … (1)

一方「サンプルの式」は
y=(A*C-B)/(A*A+B*B)
ですが単純に代入すると計算が大変なので、とりあえず a=x1y2-x2y1 とおきます。
すると
A=(y1-y2)/a
B=-(x1-x2)/a
C=x3(x1-x2)/a+y3(y1-y2)/a={x3(x1-x2)+y3(y1-y2)}/a
(分子)=A*C-B
={(y1-y2)/a}{{x3(x1-x2)+y3(y1-y2)}/a}+(x1-x2)/a
=(1/a^2){(y1-y2){x3(x1-x2)+y3(y1-y2)}+a(x1-x2)}
(分母)=A*A+B*B
={(y1-y2)/a}^2+{-(x1-x2)/a}^2
=(1/a^2){(y1-y2)^2+(x1-x2)^2}
よって分子分母の(1/a^2)を約分すると
y={(y1-y2){x3(x1-x2)+y3(y1-y2)}+a(x1-x2)}/{(y1-y2)^2+(x1-x2)^2} … (2)

(1)と(2)の分母は一致していますので、分子だけ比較すれば十分です。
(1)の分子は
(x3-x1)(y2-y1)(x2-x1)+y1(x2-x1)^2+y3(y2-y1)^2
=x3(y2-y1)(x2-x1)-x1(y2-y1)(x2-x1)+y1(x2-x1)^2+y3(y2-y1)^2 … (3)
(2)の分子は
(y1-y2){x3(x1-x2)+y3(y1-y2)}+a(x1-x2)
=(y1-y2){x3(x1-x2)+y3(y1-y2)}+(x1y2-x2y1)(x1-x2)
=x3(x1-x2)(y1-y2)+y3(y1-y2)^2+(x1y2-x2y1)(x1-x2) … (4)
ですから、
(3)-(4)
={x3(y2-y1)(x2-x1)-x1(y2-y1)(x2-x1)+y1(x2-x1)^2+y3(y2-y1)^2}
　-{x3(x1-x2)(y1-y2)+y3(y1-y2)^2+(x1y2-x2y1)(x1-x2)}
=-x1(y2-y1)(x2-x1)+y1(x2-x1)^2-(x1y2-x2y1)(x1-x2)
=(x1-x2){x1(y2-y1)+y1(x1-x2)-(x1y2-x2y1)}
=(x1-x2)(x1y2-x1y1+x1y1-x2y1-x1y2+x2y1)
=0

となり、一致します。

＞イメージ的に２辺の長さと角度のわかっている直角三角形に対し、
＞不明な1辺の長さを求めるのに、３平方の定理での答えと三角関数での演算の
＞答えをイコールでつないでいるようなイメージを私は持っています。

これは考えすぎです。前に書いたように、
「どういう理論から計算しても結果は同じ」
ですから、新しい理論など持ち出さなくても、式の変形で出せるのです。
実際私も、この程度の式の変形でしたらたまにやることがあります。
「サンプルの式」も、まず間違いなく式の変形のみで出したものと思います。

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■21963 / inTopicNo.11)

　Re[9]: 2点を結ぶ直線と点からの垂線の交点

▲▼■

□投稿者/ くりお一般人(5回)-(2007/02/13(Tue) 09:47:45)

＞らすかるさん
大変親切なご説明ありがとうございます。
頂いた回答で私の頭でもようやく理解できました。

解決済み!

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