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■21598 / inTopicNo.1)

　大学の数学ですが

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□投稿者/ ただの大学生一般人(1回)-(2007/02/05(Mon) 15:35:09)

√x+√y=１　で表される曲線の長さを求めよ。(助変数表示を用いて)
f(x,y)=xlogy+ｘの極値を求めよ。
↑
誰か教えてください。お願いします。

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■21659 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 大学の数学ですが

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□投稿者/ ゼロ一般人(18回)-(2007/02/06(Tue) 09:17:40)

これは2問質問されていると解釈して宜しいのでしょうか?
まず1問目
例えばx=t^2と置きます。y=(1-t)^2 0≦t≦1です。
曲線の長さは∫_{0～1}√[(2t)^2+(2(t-1))^2]dt
=2∫_{0～1}√[2t^2-2t+1]dt=√2∫_{0～1}√[4(t-1/2)^2+1]dt

=2√2∫_{0～1/2}√[4t^2+1]dt
t=1/2tanθと置きます。
=√2∫_{0～π/4}1/cos^3θdθ=√2∫_{0～π/4}cosθ/(1-sin^2θ)^2dθ
sinθ=uと置きます。
=√2∫_{0～1/√2}1/(1-u^2)^2du=√2/4∫_{0～1/√2}[1/(1-u)+1/(1+u)]^2du

=√2/4∫_{0～1/√2}[1/(1-u)^2+1/(1-u)+1/(1+u)+1/(1+u)^2]du

=√2/4[1/(1-u)+ln{(1+u)/(1-u)}-1/(1+u)]_{0～1/√2}

あとはこれを計算するだけです。計算はお確かめ下さい。

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■21831 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 大学の数学ですが

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□投稿者/ ただの大学生一般人(2回)-(2007/02/09(Fri) 20:57:09)

ありがとうございます。
助かりました。

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■21843 / inTopicNo.4)

　Re[1]: 大学の数学ですが

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□投稿者/ ウルトラマンファミリー(193回)-(2007/02/09(Fri) 23:17:53)

ただの大学生さん，こんばんわ．

> √x+√y=１　で表される曲線の長さを求めよ。(助変数表示を用いて)
> f(x,y)=xlogy+ｘの極値を求めよ。
> ↑
> 誰か教えてください。お願いします。

２問目いきましょう．
$2$f(x,y)=x\log y+x$ より，
$2$ f_{x} = \log y + 1, \\ f_{y} = \frac{x}{y}$
であるから，
$2$ \left\{ \begin{array}{l} f_{x}=0 \\ f_{y}=0 \end{array} \right. \\ \Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \log y + 1 = 0 \\ \frac{x}{y}=0 \end{array} \right. \\ \Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y=1/e\equiv y_{0} \\ x=0 \equiv x_{0} \end{array} \right.$
あとは，
$2$ D = f_{xx}(x_0,y_0)f_{yy}(x_0,y_0)-\left\{f_{xy}(x_0,y_0)\right\}^{2}$
を計算して， $2$D>0$ ならば， $2$f(x_0,y_0)$ は極小値ですし， $2$D<0$ の場合は， $2$f(x_0,y_0)$ は極大値となります．

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■21978 / inTopicNo.5)

　Re[2]: 大学の数学ですが

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□投稿者/ ただの大学生一般人(4回)-(2007/02/13(Tue) 21:31:53)

勘違いしてました
ありがとうございます

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■21979 / inTopicNo.6)

　Re[3]: 大学の数学ですが

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□投稿者/ ただの大学生一般人(6回)-(2007/02/13(Tue) 21:45:30)

ちなみにD=0のときは極値なしってことですか？？

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