数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[2]: 三角比の問題 / Page: 0]

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■21590 / inTopicNo.1)

　三角比の問題

□投稿者/ kanade 一般人(1回)-(2007/02/05(Mon) 01:34:30)

2007/02/05(Mon) 03:17:58 編集(投稿者)

△ABCにおいて、∠Aの二等分線が辺BCと交わる点をDとし、∠DAB＝α、∠ADC＝βとする。

問題

AB:AC＝BD：CDを示せ。

煮詰まってて困っています!!
夜分にすみませんが、誰か教えてください!!お願いいたします!!

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■21592 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 三角比の問題

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□投稿者/ らすかる大御所(526回)-(2007/02/05(Mon) 03:39:03)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

「∠DAB＝α、∠ADC＝β」は使わないと思いますが…
Dから直線ABに垂線DPを下ろし、直線ACに垂線DQを下ろすと、
△ADP≡△ADQとなるのでDP=DQ、よって AB：AC=△ABD：△ACD=BD：CD

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■21611 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 三角比の問題

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□投稿者/ kanade 一般人(3回)-(2007/02/05(Mon) 22:59:23)

わかりやすい解説ありがとうございます!!（感涙
あと一問よろしいでしょうか…？
↑の問題の前に、

cd/acをsinα,sinβで表せというのがあるのですが、煮詰まってて…orz

解説よろしくお願いいたします!!

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■21618 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 三角比の問題

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□投稿者/ らすかる大御所(529回)-(2007/02/05(Mon) 23:30:55)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

正弦定理から AC/sin∠ADC=CD/sin∠CAD です。

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■21621 / inTopicNo.5)

　Re[4]: 三角比の問題

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□投稿者/ kanade 一般人(4回)-(2007/02/05(Mon) 23:46:25)

解説ありがとうございます!!

ac/sin∠adc=cd/sin∠CAD
で、

ac/sinβ＝cd/sinα

になるところまではわかるのですが、この先がわかりません…
よろしければ解説お願いいたします!!

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■21624 / inTopicNo.6)

　Re[5]: 三角比の問題

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□投稿者/ らすかる大御所(530回)-(2007/02/06(Tue) 00:01:41)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

両辺をacで割り、両辺にsinαを掛けてください。

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■21625 / inTopicNo.7)

　Re[6]: 三角比の問題

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□投稿者/ kanade 一般人(6回)-(2007/02/06(Tue) 00:22:50)

ありがとうございます!!

答えは、

sinαsinβ=cd/ac

で合っているでしょうか…？

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■21627 / inTopicNo.8)

　Re[7]: 三角比の問題

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□投稿者/ らすかる大御所(531回)-(2007/02/06(Tue) 00:33:55)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

ちょっと違います。 CD/AC=sinα/sinβ です。

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■21629 / inTopicNo.9)

　Re[8]: 三角比の問題

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□投稿者/ kanade 一般人(9回)-(2007/02/06(Tue) 00:40:10)

2007/02/06(Tue) 00:40:56 編集(投稿者)

ありがとうございます!!
答えでましたー!!

助かりました。本当にありがとうございました。
解決できてよかったですｖ

解決済み!

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■21731 / inTopicNo.10)

　Re[2]: 三角比の問題

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□投稿者/ kaede 一般人(19回)-(2007/02/08(Thu) 00:43:25)

■No21592に返信(らすかるさんの記事)
> 「∠DAB＝α、∠ADC＝β」は使わないと思いますが…
> Dから直線ABに垂線DPを下ろし、直線ACに垂線DQを下ろすと、
> △ADP≡△ADQとなるのでDP=DQ、よって AB：AC=△ABD：△ACD=BD：CD

すみません。質問なのですが、何故、AB:AC=△ABD:△ACDになるのでしょうか…？
解説お願いいたします。

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■21735 / inTopicNo.11)

　Re[3]: 三角比の問題

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□投稿者/ らすかる大御所(540回)-(2007/02/08(Thu) 01:57:59)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

△ABD=AB×DP÷2、△ACD=AC×DQ÷2 ですから
△ABD/△ACD=(AB×DP÷2)/(AC×DQ÷2)=AB/AC です。
高さが同じ三角形の面積は底辺の長さに比例する、という意味です。

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■21751 / inTopicNo.12)

　Re[4]: 三角比の問題

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□投稿者/ kaede 一般人(20回)-(2007/02/08(Thu) 19:42:36)

■No21735に返信(らすかるさんの記事)
> △ABD=AB×DP÷2、△ACD=AC×DQ÷2 ですから
> △ABD/△ACD=(AB×DP÷2)/(AC×DQ÷2)=AB/AC です。
> 高さが同じ三角形の面積は底辺の長さに比例する、という意味です。

解説いつもありがとうございます!!

学校で先生に提出したところ、△ABD=AB×DP÷2、△ACD=AC×DQ÷2 はおかしいといわれてしまいました…（汗
他の解法はあるのでしょうか…？

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■21753 / inTopicNo.13)

　Re[5]: 三角比の問題

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□投稿者/ らすかる大御所(542回)-(2007/02/08(Thu) 19:50:41)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

三角形の面積の出し方としておかしいはずはありませんから、
もし「おかしいといわれた」なら、それは表記方法のことかと思います。
△ABDの面積をS1、△ACDの面積をS2とすると
S1/S2=(AB×DP÷2)/(AC×DQ÷2)=(AB×DP)/(AC×DQ)
=(AB×DP)/(AC×DP)=AB/AC
∴S1：S2=AB：AC
としてはどうでしょう。
これでも「おかしい」というなら、どこが「おかしい」のかを
聞いてきて欲しいです。

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■21755 / inTopicNo.14)

　Re[6]: 三角比の問題

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□投稿者/ kaede 一般人(23回)-(2007/02/08(Thu) 20:14:50)

添削されたノートの画像を添付してみますね。
こんなかんじでした。

1046×210 => 250×50

IMG.jpg/23KB

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■21758 / inTopicNo.15)

　Re[7]: 三角比の問題

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□投稿者/ らすかる大御所(543回)-(2007/02/08(Thu) 20:50:06)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

私には、なぜこんな明らかなことに対して「これは誤り」と書かれるのか
理解できません。省略のまったくない証明を求められているのでしょうか。

では、△ADP≡△ADQと△ABD：△ACD=BD：CDが認められているようですから、
こうしてみてはどうでしょう。

△ADP≡△ADQ なので、△ADP=△ADQ、AP=AQ
△ADP：△BDP=AP：BP から △BDP=(BP/AP)△ADP
△ABD=△ADP+△BDP=△ADP+(BP/AP)△ADP
　=(1+BP/AP)△ADP={(AP+BP)/AP}△ADP=(AB/AP)△ADP
△ADQ：△CDQ=AQ：CQ から △CDQ=(CQ/AQ)△ADQ
△ACD=△ADQ+△CDQ=△ADQ+(CQ/AQ)△ADQ
　=(1+CQ/AQ)△ADQ={(AQ+CQ)/AQ}△ADQ=(AC/AQ)△ADQ
　=(AC/AP)△ADP
よって
△ABD/△ACD={(AB/AP)△ADP}/{(AC/AP)△ADP}=AB/AC

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■21760 / inTopicNo.16)

　Re[8]: 三角比の問題

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□投稿者/ kaede 一般人(25回)-(2007/02/08(Thu) 21:05:53)

はい。ありがとうございます!!

友人談によれば、下記のような考え方らしいのですが。私はそれがよくわからなかったので…（汗
とりあえず画像upしておきます。

お手数かけてすみません（汗

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■21782 / inTopicNo.17)

　Re[1]: 三角比の問題

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□投稿者/ らすかる大御所(544回)-(2007/02/09(Fri) 00:58:05)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

そのように解くなら、
Cを通りABに平行な直線と直線ABとの交点をEとすると、
∠AEC=∠BAD=α、∠ACE=∠CAB=αから△ACEは二等辺三角形なのでAC=AE
また△BDA∽△BCEなので、AB：AC=AB：AE=BD：CD

# 画像が綺麗ですが、スキャナで取り込んだものですか？

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■21799 / inTopicNo.18)

　Re[2]: 三角比の問題

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□投稿者/ kaede 一般人(37回)-(2007/02/09(Fri) 05:31:51)

ありがとうございます!!
解いてみます☆

はい。画像はスキャナ（プリンタのスキャナ）で取り込んだものです。

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■21813 / inTopicNo.19)

　Re[1]: 三角比の問題

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□投稿者/ nrn 一般人(3回)-(2007/02/09(Fri) 10:57:52)

> △ABCにおいて、∠Aの二等分線が辺BCと交わる点をDとし、∠DAB＝α、∠ADC＝βとする。
>
> 問題
>
> AB:AC＝BD:CDを示せ。

横入り失礼いたします。
最初に投稿された問題なのですが、らすかるさんのように解くこともできますが、与えられたα、βを用いて以下のように解くこともできます。別解としてご参考ください。

題意より、
∠DAB=∠DAC=α
∠ADC=β
∠ADB=180°-β
となる。

△ABDにおいて、正弦定理より
BD/sinα=AB/sin(180°-β)=AB/sinβ
よって
sinβ/sinα=AB/BD …①

△ACDにおいて、正弦定理より
CD/sinα=AC/sinβ
よって
sinβ/sinα=AC/CD …②

①②より
AB/BD=AC/CD
変形して
AB/AC=BD/CD
よって
AB:AC=BD:CD （分数は比の値として考えられるので）

となります。いかがでしょう。

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■21829 / inTopicNo.20)

　Re[2]: 三角比の問題

▲　■

□投稿者/ kaede 一般人(39回)-(2007/02/09(Fri) 20:54:52)

解説ありがとうございます!!

さまざまな解き方を覚えておくのはセンター対策にもなるのでありがたいです!!

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