| ■21523 / inTopicNo.2) |
Re[1]: 面積
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□投稿者/ ウルトラマン ファミリー(184回)-(2007/02/01(Thu) 20:40:56)
 | やまともさん，こんばんわ．
> また、教えてください。
>
> tを正の数とし、点(t,-1)より放物線y=x^2に2本の接線を引く。これらの接線と放物線とで囲まれた部分の面積をS(t)とするとき、S(t)/√tの最小値を求めよ。
>
> (携帯)
 ……①より， であるから，①上の点) での接線の方程式は，
%20%5c%5c
%5cLongleftrightarrow%20y%20=%202ax-a^{2}
)
であり，これが点) を通るとき，
 ……②
そこで，②の２解を) とすると，解と係数の関係より，
 ……③
であり，求める面積は
%20
=%20%5cdisplaystyle%5cint_{%5calpha}^{t}(x^{2}-2%5calpha%20x+%5calpha^{2})dx
%20+%5cdisplaystyle%5cint_{t}^{%5cbeta}(x^{2}-2%5cbeta%20x+%5cbeta^{2})dx%20%5c%5c
=%5cdisplaystyle%5cint_{%5calpha}^{t}(x-%5calpha)^{2}dx%20+%20%5cdisplaystyle%5cint_{t}^{%5cbeta}(x-%5cbeta)^{2}dx%20%5c%5c
=[%5cfrac{1}{3}(x-%5calpha)^{3}]_{%5calpha}^{t}
+[%5cfrac{1}{3}(x-%5cbeta)^{3}]_{t}^{%5cbeta}%20%5c%5c
=%5cfrac{1}{3}(t-%5calpha)^{3}-%5cfrac{1}{3}(t-%5cbeta)^{3}%20%5c%5c
=%5cfrac{1}{3}(%5cbeta-%5calpha)%5cleft%5c{(t-%5calpha)^{2}+(t-%5calpha)(t-%5cbeta)+(t-%5cbeta)^{2}%5cright%5c}%20%5c%5c
=%5cfrac{1}{3}(%5cbeta-%5calpha)%5cleft%5c{(t-%5calpha+t-%5cbeta)^{2}-(t-%5calpha)(t-%5cbeta)%5cright%5c}%20%5c%5c
=%5cfrac{1}{3}(%5cbeta-%5calpha)%5cleft%5c{(2t-%5calpha-%5cbeta)^{2}-%5cleft%5c{t^{2}-(%5calpha+%5cbeta)t+%5calpha%5cbeta%5cright%5c}%5cright%5c}%20%5c%5c
=%5cfrac{1}{3}(%5cbeta-%5calpha)(-t^{2}+2t^{2}+1)%20%5c%5c
=%5cfrac{1}{3}%5csqrt{(%5calpha+%5cbeta)^{2}-4%5calpha%5cbeta}(t^{2}+1)%20%5c%5c
=%5cfrac{1}{3}%5csqrt{4t^{2}+4}(t^{2}+1)%20%5c%5c
=%5cfrac{2}{3}%5csqrt{(t^{2}+1)^{3}}
)
よって，
}{%5csqrt{t}}%20%5c%5c
=%5cfrac{2}{3}%5csqrt{%5cfrac{(t^{2}+1)^{3}}{t}}%20%5c%5c
=%5cfrac{2}{3}%5csqrt{g(t)}
)
とおくと，
%20=%20%5cfrac{3(t^{2}+1)^{2}%5ccdot%202t^{2}-(t^{2}+1)^{3}}{t^{2}}%20%5c%5c
=%5cfrac{(t^{2}+1)^{2}(6t^{2}-(t^{2}+1))}{t^{2}}%20%5c%5c
=%5cfrac{(t^{2}+1)^{2}(5t^{2}-1)}{t^{2}}
)
より，) は のとき，極小かつ最小となり，その最小値は
%20=%20%5cfrac{((1/5)+1)^{3}}{1/%5csqrt{5}}=%5cfrac{216%5csqrt{5}}{125}
)
であるから，/%5csqrt{t}) の最小値は
}%20%5c%5c
=%5ccdots%5ccdots
)
ってな感じになります．
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