| ■21503 / inTopicNo.2) |
Re[1]: 最大値、最小値
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□投稿者/ ウルトラマン ファミリー(183回)-(2007/01/31(Wed) 21:03:34)
 | 柚さん，こんばんわ．
> 教えてください！
>
> 底面の半径ｒ、高さｈの直円錐に内接する直円柱のうちで
> 体積が最大であるものの底面の半径と高さを求めよ。
>
>
> とりあえず、円柱の底面の半径をｘと置いたのですが、
> その先が進みません。
> お願いします。
>
円柱の底面の半径を （ただし， ）とおくと，
円柱の上面と円錐の頂点との距離は三角形の相似を利用して，
であるから，円柱の高さは
)
となるので，円柱の体積を) とすると，
%20=%20%5cpi%20x^{2}%5ccdot%20h%5cleft(1-%5cfrac{x}{r}%5cright)%20%5c%5c
=%5cpi%20%5cfrac{h}{r}x^{2}%5cleft(r-x%5cright)%20%5c%5c
=%5cpi%20%5cfrac{h}{r}(-x^{3}+rx^{2})
)
と書けます．あとは，この関数を微分して
%20=%20%5cpi%5cfrac{h}{r}(-3x^{2}+2rx)%20%5c%5c
=%5cpi%5cfrac{h}{r}x(2r-3x)
)
よって，
 で，>0)
 で，<0)
より，は のとき，極大かつ最大となることが分かります．
つまり，底面の半径が で，高さが のとき，円柱の体積は最大となります．
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