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■21500 / inTopicNo.1)

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□投稿者/ ろみ一般人(8回)-(2007/01/31(Wed) 20:41:33)

なぜ電卓で√2などを計算して、√を押し続けると、1.0に限りなく近づいていくのでしょうか？教えて下さい(>_<)

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■21502 / inTopicNo.2)

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□投稿者/ ウルトラマンファミリー(182回)-(2007/01/31(Wed) 20:53:37)

ろみさん，こんばんわ．

> なぜ電卓で√2などを計算して、√を押し続けると、1.0に限りなく近づいていくのでしょうか？教えて下さい(>_<)

要するに，漸化式：
$2$ a_{n+1} = \sqrt{a_{n}}, \quad a_{1}=2$
で与えられる数列 $2$\{a_{n}\}$ に対して，
$2$ \lim_{n\to\infty}a_{n}=1$
であることが示せればよい訳です．

与えられた漸化式より，帰納的に $2$a_{n}>0$ が言えるから，両辺の $2$\log$ をとると，
$2$ \log _{2}a_{n+1} = \log _{2}\sqrt{a_{n}} \\ \Longleftrightarrow \log _{2}a_{n+1} = \frac{1}{2}\log _{2}a_{n}$
これと， $2$\log _{2}a_{1} = 1$ より，数列 $2$\{\log _{2}a_{n}\}$ は初項 $2$1$ ，公比 $2$1/2$ の等比数列ですから，
$2$ \log _{2}a_{n} = \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} \\ \Longleftrightarrow a_{n} = 2^{\frac{1}{2^{n-1}}}$
となり，
$2$ \lim_{n\to\infty} a_{n} = 1$
となることが分かります．

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■21505 / inTopicNo.3)

　Re[2]: お願いします

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□投稿者/ ろみ一般人(9回)-(2007/01/31(Wed) 21:23:59)

なるほど!分かりました!!
極限で求めていけばよいのですね。ご丁寧な解説、ありがとうございましたm(__)m

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