数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[1]: 曲面積 / Page: 0]

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■21461 / inTopicNo.1)

　曲面積

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□投稿者/ ユウ一般人(1回)-(2007/01/31(Wed) 00:47:23)

　すいません。教えてください。

　2平面、z=0,z=2xの間の円柱面x^2+y^2=a^2

　誰かお願いします。。

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■21462 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 曲面積

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□投稿者/ ウルトラマンファミリー(177回)-(2007/01/31(Wed) 00:58:10)

ユウさん，こんばんわ．

> 　すいません。教えてください。
>
> 　2平面、z=0,z=2xの間の円柱面x^2+y^2=a^2
>
> 　誰かお願いします。。

円柱 $2$x^{2}+y^{2}=a^{2}$ と平面 $2$z=2x$ との交線上の任意の点を
$2$ P(a\cos \theta, a\sin \theta, 2a\cos \theta)(-\pi/2\leq \theta\leq \pi/2)$
$2$P$ から $2$xy$ 平面へ下ろした垂線の足を
$2$ H(a\cos \theta, a\sin \theta)$
とすると， $2$\theta$ が $2$\theta+d\theta$ に変化したとき，線分 $2$PH$ が掃く微小面積要素は
$2$ dS = PH\cdot ad\theta \\ =2a\cos \theta ad\theta \\ =2a^{2}\cos \theta d\theta$
であるから，求める面積は
$2$ S = \displaystyle\int_{-\pi/2}^{\pi/2}2a^{2}\cos \theta d\theta \\ =[2a^{2}\sin \theta]_{-\pi/2}^{\pi/2} \\ =4a^{2}$

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■21484 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 曲面積

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□投稿者/ ユウ一般人(2回)-(2007/01/31(Wed) 13:39:23)

ウルトラマンさんありがとうございます。

でも、答え」が8a^2になるみたいなんですが・・・(´・ω・`)

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■21489 / inTopicNo.4)

　Re[1]: 曲面積

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□投稿者/ ゼロ一般人(10回)-(2007/01/31(Wed) 14:43:33)

横から失礼します。
ウルトラマンさんの回答において、積分範囲を(-π～π)に修正したら
良いのではないでしょうか?

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■21494 / inTopicNo.5)

　Re[3]: 曲面積

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□投稿者/ ウルトラマンファミリー(180回)-(2007/01/31(Wed) 16:51:00)

ユウさん，こんばんわ．

> ウルトラマンさんありがとうございます。
>
> でも、答え」が8a^2になるみたいなんですが・・・(´・ω・`)

えぇ～とひょっとして， $2$z\geq 0$ だけでなく， $2$z\leq 0$ の範囲の曲面積も求めるということかもしれません．それならば，交線上の任意の点を $2$P(a\cos \theta,a\sin \theta, a\cos \theta)$ （ただし， $2$0\leq\theta\leq 2\pi)$ として， $2$P$ から $2$z=0$ に下ろした垂線の足を $2$H(a\cos \theta,a\sin \theta, 0)$ とすると， $2$\theta$ が $2$\theta+\Delta \theta$ に変化したとき，線分 $2$PH$ が掃く微小面積要素は
$2$ dS = a|\cos \theta|\cdot a\Delta\theta$
となるので，求める面積は
$2$ S = \displaystyle\int_{0}^{2\pi}a|\cos \theta|\cdot ad\theta \\ = \displaystyle\int_{0}^{\pi/2}a^{2}\cos \theta d\theta + \displaystyle\int_{\pi/2}^{3\pi/2}(-a^{2}\cos \theta) d\theta + \displaystyle\int_{3\pi/2}^{2\pi}a^{2}\cos \theta d\theta \\ =8a^{2}$
となります．

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■21506 / inTopicNo.6)

　Re[4]: 曲面積

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□投稿者/ ユウ一般人(3回)-(2007/01/31(Wed) 23:03:23)

なるほど!!
ゼロさん、ウルトラマンさん、ありがとうございました。。
すっごく助かりました。。
すっごく助かりました。。

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