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■21434 / inTopicNo.1)

　お願いします。

□投稿者/ ユイ一般人(4回)-(2007/01/30(Tue) 21:01:42)

a、bは整数として、4次式f(x)=x^4＋ax^2＋b が、f(√2＋1)=0を満たすとき、次の問いに答えよ。ただし、必要ならば√2が無理数であることを用いよ。 (1)a、bの値を求めよ。 (2)－f(x)が平方数となるような整数xをすべて求めよ。という問題なのですが…誰かお願いします。

(携帯)

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■21440 / inTopicNo.2)

　Re[1]: お願いします。

▲▼■

□投稿者/ ken 一般人(20回)-(2007/01/30(Tue) 21:54:35)

■No21434に返信(ユイさんの記事)
> a、bは整数として、4次式f(x)=x^4＋ax^2＋b が、f(√2＋1)=0を満たすとき、次の問いに答えよ。ただし、必要ならば√2が無理数であることを用いよ。 (1)a、bの値を求めよ。 (2)－f(x)が平方数となるような整数xをすべて求めよ。という問題なのですが…誰かお願いします。
>
> (携帯)

ユイさん，こんばんは☆
ひとまず(1)を…
$2$f(x)=0$ は有理数係数の方程式なので，
$2$1+\sqrt2$ の解をもつとき、共役数の $2$\1-sqrt2$ も解に持つ．
この２解を持つ方程式を $2$g(x)=0$ とすると、
$2$g(x)=x^2-2x-1$ である．
$2$f(x)$ を $2$g(x)$ で割ると,
$2$f(x)=g(x)(x^2+2x+a+5)+(2a+12)x+a+b+5$
$2$f(x)$ は $2$g(x)$ で割り切れるので，
$2$2a+12=0$
$2$a+b+5=0$
∴ $2$a=-6,b=1$

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■21448 / inTopicNo.3)

　こんばんわ

▲▼■

□投稿者/ ユイ一般人(5回)-(2007/01/30(Tue) 22:39:24)

ありがとうございます。無理数も複素数の考えと同じでいいのですか？

(携帯)

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■21450 / inTopicNo.4)

　Re[3]: こんばんわ

▲▼■

□投稿者/ ken 一般人(22回)-(2007/01/30(Tue) 22:49:40)

■No21448に返信(ユイさんの記事)
> ありがとうございます。無理数も複素数の考えと同じでいいのですか？
>
> (携帯)

ユイさん、
すいません。質問の内容が少し分かりにくいのですが…

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■21451 / inTopicNo.5)

　Re[1]: お願いします。

▲▼■

□投稿者/ ken 一般人(23回)-(2007/01/30(Tue) 23:22:37)

■No21434に返信(ユイさんの記事)
> a、bは整数として、4次式f(x)=x^4＋ax^2＋b が、f(√2＋1)=0を満たすとき、次の問いに答えよ。ただし、必要ならば√2が無理数であることを用いよ。 (1)a、bの値を求めよ。 (2)－f(x)が平方数となるような整数xをすべて求めよ。という問題なのですが…誰かお願いします。
>
> (携帯)

(2)
平方数は正なので、
$2$-f(x)>0$
$2$\Longleftrightarrow$ $2$(x^2-2x-1)(x^2+2x-1)<0$
$2$\Longleftrightarrow$ $2${(x^2-2x-1)<0,$ かつ $2$,(x^2+2x-1)>0}$ ，
or， $2${(x^2-2x-1)>0,$ かつ $2$,(x^2+2x-1)<0}$
$2$\Longleftrightarrow$ $2$-1+\sqrt2<x<1+\sqrt2,$ or $2$,-1-\sqrt2<x<1-\sqrt2$
よって考える $2$x$ の値は $2$\pm1,\pm2$ のみでよい．
$2$-f(\pm1)=4$ …平方数
$2$-f(\pm2)=6$ …平方数でない．
よって、 $2$-f(x)$ が平方数となる整数 $2$x$ は $2$\pm1$

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■21452 / inTopicNo.6)

　すみません

▲▼■

□投稿者/ ユイ一般人(6回)-(2007/01/30(Tue) 23:23:23)

複素数のときも解が1－iのとき1＋iになるので無理数も同じということですか？

(携帯)

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■21454 / inTopicNo.7)

　Re[5]: すみません

▲▼■

□投稿者/ ken 一般人(24回)-(2007/01/30(Tue) 23:39:02)

■No21452に返信(ユイさんの記事)
> 複素数のときも解が1－iのとき1＋iになるので無理数も同じということですか？

確かにそうです．

しかし、厳密には…

$2$a,b$ を実数， $2$c,d$ を有理数とする．
『実数』係数の方程式において、 $2$x=a+bi$ の解を持つならば、
共役複素数である $2$x=a-bi$ も解になります．
『有理数』係数の方程式において、 $2$x=c+\sqrt d$ の解を持つならば、
共役数である、 $2$x=c-\sqrt d$ も解になります．

採点者によっては、『～』の部分に触れないと減点する人もまれにいます。
記述式ではしっかり書くことをお勧めします。

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■21456 / inTopicNo.8)

　すみません

▲▼■

□投稿者/ ユイ一般人(7回)-(2007/01/31(Wed) 00:07:24)

(2)はどうすればいいですか？

(携帯)

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■21457 / inTopicNo.9)

　Re[7]: すみません

▲▼■

□投稿者/ ken 一般人(25回)-(2007/01/31(Wed) 00:08:39)

■No21456に返信(ユイさんの記事)
> (2)はどうすればいいですか？
>
> (携帯)

もう解きましたよ^^;
上を見てみて下さい☆

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