数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[2]: 立体の体積【大学】 / Page: 0]

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■21427 / inTopicNo.1)

　立体の体積【大学】

□投稿者/ miku 一般人(1回)-(2007/01/30(Tue) 19:15:31)

2007/01/30(Tue) 20:55:39 編集(投稿者)

立体の体積です；；

問題。
$2$x^{2} + y^{2} \leq a^{2}$

の $2$xy$ 平面の上方、平面 $2$z = x$ の下方にある部分の体積

この問題の解法を教えていただきたいです(´・ω・｀)
答えは　 $2$\frac{2}{3}a^{3}$ になるそうです。

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■21430 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 立体の体積【大学】

▲▼■

□投稿者/ ウルトラマンファミリー(172回)-(2007/01/30(Tue) 20:31:07)

nikuさん，こんばんわ．

> 2007/01/30(Tue) 19:18:08 編集(投稿者)
>
> 立体の体積です；；
>
> 問題。
> $2$x^{2} + y^{2} \leq a^{2}$
>
>
> の $2$xy$ 平面の上方、平面 $2$z = x$ の下方にある部分の体積
>
> この問題の解法を教えていただきたいです(´・ω・｀)
> 答えは　 $2$\frac{2}{3}a^{3}$ になるそうです。

求める立体の体積は
$2$ V = \iint_{x^{2}+y^{2}\leq a^{2},x\geq 0}(x-0)dxdy \\ =\iint_{x^{2}+y^{2}\leq a^{2},x\geq 0}xdxdy$
ここで平面極座標に変換して，
$2$ x=r\cos \theta, \quad y=r\sin \theta$
（ただし， $2$0\leq r\leq a, -\pi/2\leq \theta\leq \pi/2$ ）
とおくと，
$2$ dxdy = rdrd\theta$
であるから，
$2$ V = \displaystyle\int_{-\pi/2}^{\pi/2}d\theta\displaystyle\int_{0}^{a}dr r\cos \theta\cdot r \\ =\displaystyle\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos \theta\displaystyle\int_{0}^{a}r^{2}dr \\ =\frac{2}{3}a^{3}$
となります．

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■21438 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 立体の体積【大学】

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□投稿者/ miku 一般人(1回)-(2007/01/30(Tue) 21:06:41)

あっ！なるほど！！！

ウルトラマンさん。
ありがとうございます！！！！！

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