 | いるかさん，こんばんわ．
> 行列A=((-1,-4)(6,9))のとき
> (1)P^-1AP=((α,0)(0,β))となるようなα、βおよびP=((a,b)(c,d))を求めよ。ただし、P^-1はPの逆行列とし、α>4,a=2,ad-bc=2とする。
固有値，固有ベクトルを知っていると，ほとんど計算無しに を求めることができますが，問題の誘導に従うなら頑張って連立方程式を解くしかないですね．
次のように成ります．
%20%5c%5c
%5cLongleftrightarrow%20AP%20=%20P%5cleft(%5cbegin{array}{cc}%5calpha%20&%200%20%5c%5c%200%20&%20%5cbeta%20%5cend{array}%5cright)%20%5c%5c
%5cLongleftrightarrow%20%5cleft(%5cbegin{array}{cc}2%20&%20b%20%5c%5c%20c%20&%20d%5cend{array}%5cright)
%5cleft(%5cbegin{array}{cc}-1%20&%20-4%20%5c%5c%206%20&%209%5cend{array}%5cright)
=%5cleft(%5cbegin{array}{cc}2%20&%20b%20%5c%5c%20c%20&%20d%5cend{array}%5cright)
%5cleft(%5cbegin{array}{cc}%5calpha%20&%200%20%5c%5c%200%20&%20%5cbeta%5cend{array}%5cright)%20%5c%5c
%5cLongleftrightarrow%20%5cleft%5c{
%5cbegin{array}{l}
-2+6b%20=%202%5calpha%20%5c%5c
-c+6d%20=%20c%5calpha%20%5c%5c
-8+9b%20=%20b%5cbeta%20%5c%5c
-4c+9d%20=%20d%5cbeta
%5cend{array}
%5cright.
)
これと
を連立して，
)
> (2)A^nを求めよ。ただしnは自然数とする。
)
より，
^{n}%20=%20%5cleft(%5cbegin{array}{cc}5^{n}%20&%200%20%5c%5c%200%20&%203^{n}%5cend{array}%5cright)%20%5c%5c
%5cLongleftrightarrow%20P^{-1}A^{n}P%20=%20%5cleft(%5cbegin{array}{cc}5^{n}%20&%200%20%5c%5c%200%20&%203^{n}%5cend{array}%5cright)%20%5c%5c
%5cLongleftrightarrow%20A^{n}%20=%20P%5cleft(%5cbegin{array}{cc}5^{n}%20&%200%20%5c%5c%200%20&%203^{n}%5cend{array}%5cright)P^{-1}
)
となります．この後は，いるかさんの方で，頑張って計算してみてください．
>
> どなたか教えてください(^_^;
>
> (携帯)
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