数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[9]: 三角比の問題 / Page: 0]

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■21380 / inTopicNo.1)

　三角比の問題

□投稿者/ マキ一般人(1回)-(2007/01/28(Sun) 01:51:57)

一辺の長さが１の正方形ABCDがある。
(1)辺BC上に点P、辺CD上に点Qをとり、正三角形APQを作る。
　(i)BP＝ⅹとおくとき、ⅹ＝□であり、tan75＝□である。
　(ⅱ)正三角形APQの面積は□である。
□がわかりません。よろしくお願いします。

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■21401 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 三角比の問題

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□投稿者/ あっくん一般人(4回)-(2007/01/28(Sun) 21:01:10)

■No21380に返信(マキさんの記事)
> 一辺の長さが１の正方形ABCDがある。
> (1)辺BC上に点P、辺CD上に点Qをとり、正三角形APQを作る。
> 　(i)BP＝ⅹとおくとき、ⅹ＝□であり、tan75＝□である。
> 　(ⅱ)正三角形APQの面積は□である。
> □がわかりません。よろしくお願いします。

条件より分かることは，
　AB=AD,BP=DQ,PC=QC,AP=PQ=AQであり，
　BP=DQ=x,PC=QC=1-x
以上より
　△CPQは直角二等辺三角形→∠CPQ=∠CQP=45°･･･①
　∠APQ=60°･･････････････････････････････････②
①,②より
　∠APB=75°となります！

さて，本題に入りますと･･･
　AP^2=1+x^2
　PQ^2=(1-x)^2+(1-x)^2
　 =1-2x+x^2+1-2x+x^2
　 =2x^2-4x+2
　AP^2=PQ^2より
　　1+x^2=2x^2-4x+2
　　x^2-4x+1=0
　　x=2±√(4-1)
　　x=2±√3
　0<x<1より
　　x=2-√3

tan75°=AP/PB
　=1/(2-√3)
　=1･(2+√3)/{(2-√3)(2+√3)}
　=(2+√3)/(4-3)
　=2+√3

△APQ=(2-√3)^2･sin60°/2
　 ={(4-4√3+3)･√3/2}/2
　 =(7-4√3)･√3/4
　 =(7√3-12)/4

となりました！！(^o^)/
了解デッカ？？

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■21403 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 三角比の問題

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□投稿者/ マキ一般人(2回)-(2007/01/29(Mon) 01:19:02)

了解です!!ありがとうございます!!

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■21453 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 三角比の問題

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□投稿者/ マキ一般人(3回)-(2007/01/30(Tue) 23:28:00)

（２）辺BC上に点S、辺BA上に点Tをとり、
　　BS=ⅹ、　BT=y　（０≦ⅹ≦１、０≦y≦１）とする。
（ⅰ）ⅹ、yがⅹ＋y＝１をみたして変わるとき、
　　　STを一辺とする正方形の面積の最小値は□である。
（ⅱ）ⅹ、yが独立して変わるとき、
　　　　　　　13ⅹ^2－4ⅹy＋y^2－6ⅹ＋11
　　　の最小値は□である。
すいません。（２）もわかりませんでした。よろしくお願いします。

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■21455 / inTopicNo.5)

　Re[4]: 三角比の問題

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□投稿者/ ウルトラマンファミリー(176回)-(2007/01/30(Tue) 23:59:47)

マキさん，こんばんわ．

> （２）辺BC上に点S、辺BA上に点Tをとり、
> 　　BS=ⅹ、　BT=y　（０≦ⅹ≦１、０≦y≦１）とする。
> （ⅰ）ⅹ、yがⅹ＋y＝１をみたして変わるとき、
> 　　　STを一辺とする正方形の面積の最小値は□である。

これは
$2$ ST = \sqrt{x^{2}+y^{2}}$
より，正方形の面積は
$2$ W = ST^{2} \\ =x^{2}+y^{2} \\ =(x+y)^2-2xy \\ =1-2xy$
よって，
$2$ \left\{ \begin{array}{l} x+y = 1 \\ xy = (1-W)/2 \\ 0\leq x\leq 1 \\ 0\leq y\leq 1 \end{array} \right.$
を満たす実数の組 $2$(x,y)$ が存在するような $2$W$ の値の範囲のうち最小となるものを求めればよい．解と係数の関係より， $2$x,y$ は，
$2$f(t)\equiv t^{2}-t+(1-W)/2=0$ ……①
の２解であるから，求める条件は
$2$ \left\{ \begin{array}{l} (1-W)/2\geq 0 \\ 1-2(1-W)\geq 0 \end{array} \right. \\ \Longleftrightarrow 1/2\leq W \leq 1$
よって， $2$W$ の最小値は $2$1/2$ ……（答）

> （ⅱ）ⅹ、yが独立して変わるとき、
> 　　　　　　　13ⅹ^2－4ⅹy＋y^2－6ⅹ＋11
> 　　　の最小値は□である。
> すいません。（２）もわかりませんでした。よろしくお願いします。

これは， $2$x,y$ について整理して平方完成しましょう．
$2$ 13x^{2}-4xy+y^{2}-6x+11 \\ =13x^{2}-2(2y+3)x+y^{2}+11 \\ =13\left(x-\frac{2y+3}{13}\right)^{2}+y^{2}+11-\frac{(2y+3)^{2}}{13} \\ =13\left(x-\frac{2y+3}{13}\right)^{2}+\frac{9}{13}\left(y-\frac{2}{3}\right)^{2}+10$
より，
$2$ x-\frac{2y+3}{13}=y-\frac{2}{3}=0 \\ \Longleftrightarrow x=\frac{1}{3}, \quad y=\frac{2}{3}$
のとき最小値 $2$10$ をとる……（答）

ってな感じでしょうか．．．

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■21465 / inTopicNo.6)

　Re[5]: 三角比の問題

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□投稿者/ マキ一般人(4回)-(2007/01/31(Wed) 01:28:59)

なぜこのようになるかがわからないんですけど
ｆ=t^2－t＋1-W／2=0　？
あと（ⅱ）の最後のほうがよくわかりません。　

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■21466 / inTopicNo.7)

　Re[6]: 三角比の問題

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□投稿者/ ウルトラマンファミリー(179回)-(2007/01/31(Wed) 01:57:40)

マキさん，こんばんわ．

> なぜこのようになるかがわからないんですけど
> ｆ=t^2－t＋1-W／2=0　？

解と係数の関係をご存知ですか？
解と係数の関係というのは，
「 $2$\alpha,\beta$ が，２次方程式 $2$ax^{2}+bx+c=0$ の２解ならば，
$2$ \alpha+\beta = -\frac{b}{a}, \alpha\beta = \frac{c}{a}$
」が成立するというものです．ここで，注意して欲しいのは，この命題の逆である：
「
$2$ \alpha+\beta = -\frac{b}{a}, \alpha\beta = \frac{c}{a}$
ならば， $2$\alpha,\beta$ は２次方程式 $2$ax^{2}+bx+c=0$ の２解である．」も成立するということです．

この問題の場合は，
$2$ \left\{ \begin{array}{l} x+y = 1 \\ xy = (1-W)/2 \end{array} \right.$
が成立しているので，上記の解と係数の関係を用いると， $2$x,y$ は２次方程式：
$2$ t^{2}-t+(1-W)/2=0$
の２解となります．っで， $2$f(t)$ というのは，この２次方程式の左辺を単に $2$f(t)$ と置いているだけです．

> あと（ⅱ）の最後のほうがよくわかりません。　
最後の方っていわれても．．．Σ(￣ロ￣lll)
具体的に，どの行の式からどの行の式への式変形が分からないのでしょうか？

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■21496 / inTopicNo.8)

　Re[7]: 三角比の問題

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□投稿者/ マキ一般人(5回)-(2007/01/31(Wed) 18:52:23)

すいません。
13(ⅹ－2y＋3/13)^2＋9/13(y－2/3)^2＋10
↑が　ⅹ－2y＋3/13＝y－2/3＝0　になるのがわかりません。

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■21498 / inTopicNo.9)

　Re[8]: 三角比の問題

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□投稿者/ ウルトラマンファミリー(181回)-(2007/01/31(Wed) 19:05:54)

マキさん，こんばんわ．

> すいません。
> 13(ⅹ－2y＋3/13)^2＋9/13(y－2/3)^2＋10
> ↑が　ⅹ－2y＋3/13＝y－2/3＝0　になるのがわかりません。
>

これは，
$2$x,y$ が任意の実数を動くとき，
$2$ 13\left(x-\frac{2y+3}{13}\right)^{2}+\frac{9}{13}\left(y-\frac{2}{3}\right)^{2}+10$
が最小となるのは， $2$x,y$ の値がいくつのときか？っていうのを考えてます．

すると， $2$x,y$ が実数のとき，
$2$ \left(x-\frac{2y+3}{13}\right)^{2}\geq 0 ,\\ \left(y-\frac{2}{3}\right)^{2}\geq 0$
ですから，これらが最小となるのは，
$2$ x-\frac{2y+3}{13}=0, \quad y-\frac{2}{3}=0$
つまり，
$2$ x=\frac{1}{3}, \quad y=\frac{2}{3}$
のときとなります．

っで， $2$x,y$ がこれらの値をとったときの最小値は
$2$ 13\cdot 0^{2}+\frac{9}{13}\cdot 0^{2} + 10 \\ =10$
ということになります．

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■21507 / inTopicNo.10)

　Re[9]: 三角比の問題

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□投稿者/ マキ一般人(6回)-(2007/01/31(Wed) 23:12:36)

なるほど!!わかりました！ありがとうございます!!

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