数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[4]: 媒介変数 / Page: 0]

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■21367 / inTopicNo.1)

　媒介変数

□投稿者/ ゆうき一般人(4回)-(2007/01/27(Sat) 16:09:30)

問.
実数θと媒介変数ｔを用いて
ｘ＝ｔ cosθ
ｙ＝ｔ sinθ
と表わされる直線をＬとし、定点Ａ（２,０）から
Ｌへ下ろした垂線の足をＰとする。
θが　０°≦θ＜１８０°　の範囲を動く時、
点Ｐ（Ⅹ、Ｙ）が描く曲線の方程式を求めよ。
ただし、θ＝0°のときは　Ｐ＝Ａとする。

私立大学の入試問題です。
解けなくて困っているのでわかる方教えてください。
よろしくおねがいします。

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■21369 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 媒介変数

▲▼■

□投稿者/ miyup 大御所(1101回)-(2007/01/27(Sat) 21:10:53)

■No21367に返信(ゆうきさんの記事)
> 問.
> 実数θと媒介変数ｔを用いて
> ｘ＝ｔ cosθ
> ｙ＝ｔ sinθ
> と表わされる直線をＬとし、定点Ａ（２,０）から
> Ｌへ下ろした垂線の足をＰとする。
> θが　０°≦θ＜１８０°　の範囲を動く時、
> 点Ｐ(X、Ｙ）が描く曲線の方程式を求めよ。
> ただし、θ＝0°のときは　Ｐ＝Ａとする。
y/x = (t sinθ)/(t cosθ)=tanθ より
L: y=(tanθ)x　これは原点を通り傾きtanθ（ｘ軸とのなす角がθ）の直線を表す。
　ただしθ=90°では L: x=0 である。
これに点A(2,0) から垂線を下ろすと、θにかかわらず∠APO は常に垂直より
点PはOAを直径とする円を描く。
すなわち、(x-1)^2+y^2=1

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■21389 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 媒介変数

▲▼■

□投稿者/ ゆうき一般人(5回)-(2007/01/28(Sun) 14:19:54)

ありがとうございました！！！
私立の入試まであと1週間ちょっとなのでがんばりたいと思います。

ちなみに、解答の途中の式で、

点Ｐ（Ｘ,Ｙ）とすると
Ｘ＝２(cosθ)^2
Ｙ＝２cosθ・sinθ

と書いてあったのですが、
これがなぜこういう式になるのかもよくわかりません。
初歩的な質問かもしれませんがわかる方教えてください。
おねがいします。

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■21414 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 媒介変数

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□投稿者/ ウルトラマンファミリー(170回)-(2007/01/29(Mon) 18:36:25)

ゆうきさん，こんばんわ．

> ありがとうございました！！！
> 私立の入試まであと1週間ちょっとなのでがんばりたいと思います。
>
>
>
> ちなみに、解答の途中の式で、
>
> 点Ｐ（Ｘ,Ｙ）とすると
> Ｘ＝２(cosθ)^2
> Ｙ＝２cosθ・sinθ
>
> と書いてあったのですが、
> これがなぜこういう式になるのかもよくわかりません。
> 初歩的な質問かもしれませんがわかる方教えてください。
> おねがいします。

$2$\triangle{OAP}$ に注目してください．これは， $2$\angle{AOP}=\theta,\angle{APO}=\pi/2$ の直角三角形ですね．ということは，
$2$ OP = OA\cos \theta = 2\cos \theta$
となります．次に， $2$P$ から $2$x$ 軸， $2$y$ 軸へ下ろした垂線の足を $2$P_{x}, P_{y}$ とすると，
$2$ OP_{x} = OP\cos \theta = 2\cos \theta\cos \theta = 2\cos ^{2}\theta, \\ OP_{y} = OP\sin \theta = 2\cos \theta\sin \theta$
つまり， $2$P(X,Y)$ とすると，これは
$2$ X = 2\cos ^{2}\theta, \quad Y=2\cos \theta\sin \theta$
であることを示してますね．後は，この式から $2$\theta$ を消去すればよいわけです．２倍角の公式：
$2$ \sin 2\theta = \sin \theta\cos \theta$
ならびに，半角の公式：
$2$ \cos ^{2}\theta = \frac{1+\cos 2\theta}{2}$
を用いると，
$2$ \left\{ \begin{array}{l} X = 1+\cos 2\theta, \\ Y = \sin 2\theta \end{array} \right. \\ \Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \cos 2\theta = X-1 \\ \sin 2\theta = Y \end{array} \right.$
ですから，この２式から $2$\theta$ を消去すると，
$2$ (X-1)^{2}+Y^{2} = 1$
が得られます．

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■21417 / inTopicNo.5)

　Re[4]: 媒介変数

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□投稿者/ ゆうき一般人(6回)-(2007/01/29(Mon) 20:57:46)

ウルトラマンさんこんばんわ！
すごくわかりやすかったです！
本当にありがとうございました！！！
がんばります！

解決済み!

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