数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[1]: 回転 / Page: 0]

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■21301 / inTopicNo.1)

　回転

□投稿者/ ku-girl 一般人(2回)-(2007/01/25(Thu) 13:08:11)

座標平面上に方程式7x^2+2√3xy+5y^2=16で表される曲線がある。座標軸を原点の回りに角θ(0<θ<π/2)だけ回転したとき、曲線の方程式がaX^2+bY^2=1の形になるためにはθをどのようにとればよいか。

誰か教えてくださいな☆★

(携帯)

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■21322 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 回転

▲▼■

□投稿者/ ウルトラマンファミリー(154回)-(2007/01/26(Fri) 00:40:41)

ku-girlさん，こんばんわ．

> 座標平面上に方程式7x^2+2√3xy+5y^2=16で表される曲線がある。座標軸を原点の回りに角θ(0<θ<π/2)だけ回転したとき、曲線の方程式がaX^2+bY^2=1の形になるためにはθをどのようにとればよいか。
>
> 誰か教えてくださいな☆★
>
> (携帯)
$2$7x^{2}+2\sqrt{3}xy+5y^{2}=16$ ……①上の任意の点 $2$(x,y)$ を原点の周りに $2$\theta$ 回転して得られる点を $2$(X,Y)$ とすると，
$2$ \left(\begin{array}{c}x\\y \end{array}\right) =\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}X\\Y \end{array}\right) \\ \Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = X\cos \theta+Y\sin \theta \\ y = -X\sin \theta+Y\cos \theta \end{array} \right.$
であるから，これを①に代入して，
$2$ 7(X\cos \theta+Y\sin \theta)^{2}+2\sqrt{3}(X\cos \theta+Y\sin \theta)(-X\sin \theta+Y\cos \theta)+5(-X\sin \theta+Y\cos \theta)^{2}=16$
あとは，この式を展開して $2$XY$ の係数が $2$0$ となるような $2$\theta$ の値を求めればよいです．

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