数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[2]: 曲面積です。 / Page: 0]

数学ナビゲーター掲示板
(現在過去ログ2 を表示中)

[ 最新記事及び返信フォームをトピックトップへ ]

■21298 / inTopicNo.1)

　曲面積です。

□投稿者/ シェバ一般人(1回)-(2007/01/25(Thu) 10:36:23)

　　　　
　　　サイクロイド x=a*(θ-sinθ) , y=a*(1-cosθ) (0≦θ≦2π)
のX軸回転面の曲面積を求めよ。
　　　
　　　このような問題です。バームクーヘンの考えでいくと思うんですがその先が
　　　進みません。だれかこれを教えてください。
　　　お願いします。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■21300 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 曲面積です。

▲▼■

□投稿者/ ウルトラマン軍団(147回)-(2007/01/25(Thu) 12:47:14)

シェバさん，こんばんわ．
>
> 　　　　
> 　　　サイクロイド x=a*(θ-sinθ) , y=a*(1-cosθ) (0≦θ≦2π)
> のX軸回転面の曲面積を求めよ。
> 　　　
> 　　　このような問題です。バームクーヘンの考えでいくと思うんですがその先が
> 　　　進みません。だれかこれを教えてください。
> 　　　お願いします。

えぇ～と，特にバームクーヘン型積分法を使う必要はないですねぇ～．
曲面積なので，サイクロイドの $2$0\leq \theta\leq 2\pi$ の部分を $2$y=f(x)(0\leq x\leq 2\pi a$ とすると，
$2$ S = 2\pi \displaystyle\int_{0}^{2\pi a}f(x)\sqrt{1+f'(x)^{2}}dx$
これを $2$x=a(\theta-\sin \theta)$ で置換積分してみてください．

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■21302 / inTopicNo.3)

　Re[1]: 曲面積です。

▲▼■

□投稿者/ シェバ一般人(2回)-(2007/01/25(Thu) 13:14:57)

　　　　　　

　　　すみません。
　　 S= の後の式は、回転面の円周を弧長の公式とかけたものなのですか？
教えてください。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■21305 / inTopicNo.4)

　Re[2]: 曲面積です。

▲▼■

□投稿者/ シェバ一般人(3回)-(2007/01/25(Thu) 14:14:12)

　　　たびたびすいません。置換積分のあとの計算も教えてくれると助かります。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■21315 / inTopicNo.5)

　Re[2]: 曲面積です。

▲▼■

□投稿者/ ウルトラマン軍団(149回)-(2007/01/25(Thu) 23:39:50)

シェバさん，こんばんわ．

> 　　　　　　
>
> 　　　すみません。
> 　　 S= の後の式は、回転面の円周を弧長の公式とかけたものなのですか？
> 教えてください。

厳密な証明は多重積分を必要としますが，大雑把な感覚としては，↑のイメージであってます．

つまり， $2$y=f(x)$ のうち， $2$x$ 座標が $2$x$ ～ $2$x+dx$ の範囲の微小線要素の長さは
$2$ ds = \sqrt{(dx)^{2}+(dy)^{2}} \\ =\sqrt{1+(dy/dx)^{2}}dx \\ =\sqrt{1+\{f'(x)\}^{2}}dx$
であるから，この微小線要素を $2$x$ 軸の周りに回転して得られる曲面の面積は
$2$ dS = 2\pi f(x)ds \\ =2\pi f(x)\sqrt{1+\{f'(x)\}^{2}}dx$
となります．これを積分すれば，よいわけです．

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■21316 / inTopicNo.6)

　Re[3]: 曲面積です。

▲▼■

□投稿者/ ウルトラマンファミリー(150回)-(2007/01/25(Thu) 23:48:05)

シェバさん，こんばんわ．

>
> 　　　たびたびすいません。置換積分のあとの計算も教えてくれると助かります。

高校生じゃないんだから．．＼(^o^)／

大雑把な流れのみ説明しますので，細かい計算は，自分の手を動かしてやって見てください．そうしないと，大学卒業できませんよぉ～．．．

$2$ x=a(\theta-\sin \theta),\quad 0\leq \theta\leq 2\pi$
とおくと，
$2$ dx = a(1-\cos \theta)d\theta, \\ f(x)=y=a(1-\cos \theta), \\ f'(x)=\frac{dy}{dx} \\ =\frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} \\ =\frac{a\sin \theta}{a(1-\cos \theta)}$
であるから，
$2$ S = \displaystyle\int_{0}^{2\pi a}f(x)\sqrt{1+\{f'(x)\}^{2}}dx \\ =\displaystyle\int_{0}^{2\pi}a(1-\cos \theta)\sqrt{1+\left(\frac{a\sin \theta}{a(1-\cos \theta)}\right)^{2}}a(1-\cos \theta)d\theta$
この後は，頑張ってください．

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■21319 / inTopicNo.7)

　Re[4]: 曲面積です。

▲▼■

□投稿者/ シェバ一般人(4回)-(2007/01/26(Fri) 00:13:23)

　　　どうもありがとうございます。気合を入れてがんばります！！

解決済み!

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

トピック内ページ移動 / << 0 >>

このトピックに書きこむ

過去ログには書き込み不可

- Child Tree -
Edit By 数学ナビゲーター