数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[1]: 空間図形 / Page: 0]

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■21275 / inTopicNo.1)

　空間図形

▼■

□投稿者/ ゆき一般人(2回)-(2007/01/24(Wed) 11:30:05)

xyz空間内に4点O(0,0,0),A(0,0,2),B(2,0,0),C(1,√3,0)がある。点のPが線分AB上を動くとき、三角形OPCの面積の最大値と最小値を求めよ。

どなたかお願いします。一橋の過去問です。。。

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■21278 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 空間図形

▲▼■

□投稿者/ X 一般人(30回)-(2007/01/24(Wed) 17:49:53)

条件から線分ABの方程式は
z=2-x,y=0(0≦x≦2)
∴P(t,0,2-t)
0≦t≦2 (A)
と置くことができます。
∴↑OP・↑OC=t
よって△OPCの面積をS(t)とすると
S(t)=(1/2)OP・OCsin∠POC
=(1/2)OP・OC√{1-(cos∠POC)^2}
=(1/2)√{(OP・OC)^2-(OP・OCcos∠POC)^2}
=(1/2)√{(OP・OC)^2-(↑OP・↑OC)^2}
=(1/2)√{(t^2+(2-t)^2)・(1^2+(√3)^2)-t^2}
=(1/2)√{4(t^2+(2-t)^2)-t^2}
=(1/2)√(7t^2-16t+16)
=(1/2)√{7(t-8/7)^2+16-64/7}
=(1/2)√{7(t-8/7)^2+48/7} (B)
ここで
f(t)=7(t-8/7)^2+48/7
なるf(t)を(A)の範囲で考えると
横軸にtを取ったy=f(t)のグラフが、下に凸の放物線で
軸t=8/7が(A)の範囲内右寄りにあることから
f(t)の最大値：f(0)=16
f(t)の最小値：f(8/7)=48/7
よって(B)より△OPCの面積の
最大値は2(このときP(0,0,2))
最小値は(2/7)√21(このときP(8/7,0,6/7))

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