数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[4]: 微分 / Page: 0]

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■2127 / inTopicNo.1)

　微分

□投稿者/ slugger 一般人(1回)-(2005/07/22(Fri) 16:34:26)

はじめまして！夏休みの宿題で分からないところがあったので質問します。
＜問Ⅰ＞（１）体積が一定で底が正方形である四角柱のうちで、全表面積の最小のものを求めよ。　答・・・立方体
　　　　（２）曲線√x+√y=√aの接線とx軸、y軸との交点をそれぞれA、Bとするとき、原点をOとして、OA+OBは一定であることを示せ。
＜問Ⅱ＞曲線y=1/x^2上の点Pにおける接線とx軸、y軸との交点をそれぞれA、Bとするとき、線分ABの長さの最小値を求めよ。　答・・・3√3/2
（１）は体積と全表面積の式は立てられるんですが、そこからどのようにすれば良いか分かりませんでした。あとの問題は皆目検討も付きませんでした･･･。いきなり３題も質問してすみませんが、どなたか解説お願いします。

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■2132 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 微分

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□投稿者/ X 軍団(133回)-(2005/07/22(Fri) 18:57:55)

2005/07/22(Fri) 18:59:49 編集(投稿者)

＜問Ⅰ＞
（１）
四角柱の底辺の一辺の長さをx、高さをy、表面積をS、体積をVとそれぞれ置くと
条件よりSは正の一定値であり
x>0,y>0　①
S=2x^2+4xy　②
V=yx^2　③
②より
y=(S-2x^2)/(4x)　③
これを③へ代入して
V=x(S-2x^2)/4　④
又①③より
(S-2x^2)/(4x)>0　⑤
⑤の両辺にx^2(>0)をかけると
(S-2x^2)x>0
∴x{x-√(S/2)}{x+√(S/2)}<0
∴①との共通範囲を取って
0<x<√(S/2)　⑥
⑥の範囲で④の増減を考えましょう。

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■2134 / inTopicNo.3)

　Re[1]: 微分

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□投稿者/ X 軍団(134回)-(2005/07/22(Fri) 19:12:16)

2005/07/22(Fri) 19:26:32 編集(投稿者)
2005/07/22(Fri) 19:26:08 編集(投稿者)

＜問Ⅰ＞（２）
√x+√y=√a　①
とします。
まず①の接線の方程式を求めます。
①より
x≧0　②
y≧0　③
y=(√a-√x)^2
=a+x-2√(ax)　④
x=a+y-2√(ay)　⑤
∴
dy/dx=1-√(a/x)　⑥
dx/dy=1-√(a/y)　⑦
となるので①上の点(t,a+t-2√(at))における接線の方程式は
t≠0のとき⑥より
y={1-√(a/t)}(x-t)+a+t-2√(at)　⑧
t=0のとき⑦より
x=0　⑨
後は⑧⑨それぞれについて点A,Bの座標を求め、OA+OBを計算します。

（追記）
問題の命題は①上のの点(0,a),(a,0)に対しては成立しません。
（これらの点では点A,Bいずれかの点が定義できないので）

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■2135 / inTopicNo.4)

　Re[1]: 微分

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□投稿者/ X 軍団(135回)-(2005/07/22(Fri) 19:20:20)

＜問Ⅱ＞
これも＜問Ⅰ＞（２）と同じように点Pの座標を適当な変数で表して（P(t,1/t^2）とでも置く）点Pにおける接線の方程式を求めることから始めます。
すると点A,Bの座標をtで表すことができるので、線分ABの長さもtで表すことができます。
後はtの変域に注意して（条件よりt≠0）線分ABの長さのtに対する増減を調べます（分かりにくければAB^2=f(t)と置いて、まずf(t)の増減を調べましょう）。

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■2177 / inTopicNo.5)

　Re[2]: 微分

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□投稿者/ slugger 一般人(4回)-(2005/07/23(Sat) 09:44:16)

　ありがとうございました！これからいろいろ質問すると思いますが、宜しくお願いします。それと＜問Ⅰ＞（１）は全表面積の最小値なんですが･･･。

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■2178 / inTopicNo.6)

　Re[3]: 微分

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□投稿者/ X 軍団(137回)-(2005/07/23(Sat) 11:12:04)

ごめんなさい、V,Sを逆に捉えていましたね。ですが考え方は全く同じです。
後は自分で考えてみてください。