 | (1),(2) 解き方は同じです．
∫1/√(a^2-x^2) dx ，∫√(a^2-x^2) dx のように，
・√がついてる
・√の中身がa^2-x^2
の問題は超頻出で，x=a*sinθ と置換します．(x=a*cosθでも良いが，sinの方が置換後の区間が多少楽)
つまり，(1),(2)ともx=2sinθと置換すると，dx=2cosθ dθ となるので，区間を無視した積分は，
∫{1/(2cosθ)} 2cosθdθ=∫dθ =θ となります．
ちなみに，積分区間は，x=2sinθに代入すればよいので，(1)θ:0→π/6，(2)θ:0→π/2です．
(3),(4) 三角関数の高次の積分は，次の2つの形のどちらかを作って，それから積分です．
・三角関数の積がない形 (例：cos^2(x)={cos(2x)+1}/2 etc)
・『sin(x)*{cos(x)の多項式}を作って，t=cos(x)と置換』または『cos(x)*{sin(x)の多項式}を作って，t=sin(x)と置換』
です．
(3)(4)は，両方とも下のパターンです．
ちなみに，(4)は上のパターンで，『3倍角の公式cos(3x)=4cos^3(x)-3cos(x) ⇒ cos^3(x)=(1/4)*cos(3x) +(3/4)*cos(x)』としても，積分できます．
(3)は，パターンの形になっているので，t=sin(x)とすると，dt=cos(x) dx なので，
∫[x:0→π/2] sin^2(x)cos(x)dx =∫[t:0→1] t^2 dt となります．
(4)は，下のパターンでは，cos^3(x)={1-sin^2(x)}*cos(x)なので，t=sin(x)とすると，
∫[x:0→π/2] cos^3(x) dx =∫[t:0→1] (1-t^2) dt です．
(5) 問題の書き方が少し曖昧ですが，∫(1/x)*log(x) dxですね．
x^n*log(x) (n:0も含めた整数)の積分のパターンも決まっています．
・部分積分でx^nを積分，log(x)を微分する
(例) ∫(x^2)*log(x) dx = (x^3/3)*log(x) -∫(x^3/3)*(1/x) dx =(x^3/3)*log(x) -(x^3/9) です．
しかし，n=-1のときだけは少し特殊で(やることは同じ!!)
∫(1/x)*log(x)= log(x)*log(x) -∫log(x)*(1/x) dx…① のように，部分積分の前後で同じ積分が出てきます．
このときは，I=∫(1/x)*log(x)とおくと
①:I={log(x)}^2 -I ⇒ I=(1/2)*{log(x)}^2 となります．あとは，区間代入です．
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