数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[1]: 積分です。 / Page: 0]

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■21233 / inTopicNo.1)

　積分です。

▼■

□投稿者/ まっち一般人(1回)-(2007/01/23(Tue) 00:34:58)

∫[2→1]1/√{(x-1)(2-x)}dx
の値を求めよ。
の解き方教えてください！
答えはπになるらしいです。

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■21235 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 積分です。

▲▼■

□投稿者/ ウルトラマン軍団(133回)-(2007/01/23(Tue) 00:58:45)

まっちさん，こんばんわ．

> ∫[2→1]1/√{(x-1)(2-x)}dx
> の値を求めよ。
> の解き方教えてください！
> 答えはπになるらしいです。

$2$ \displaystyle\int_{2}^{1}\frac{dx}{\sqrt{(x-1)(2-x)} \\ =\displaystyle\int_{2}^{1}\frac{dx}{\sqrt{-x^{2}+3x-2}} \\ =\displaystyle\int_{2}^{1}\frac{dx}{\sqrt{-\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}+\frac{1}{4}}}$
この後は，
$2$ \frac{3}{2}-x = \frac{1}{2}\sin \theta \\ \Longleftrightarrow x = \frac{3}{2}-\frac{1}{2}\sin \theta$
（ただし， $2$-\pi/2\leq\theta\leq \pi/2$ ）
と置換積分すればよいです．

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