| ■21043 / inTopicNo.4) |
Re[3]: べき級数環
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□投稿者/ サボテン 軍団(100回)-(2007/01/16(Tue) 15:35:08)
 | C[[x]]が整域であることを示すのはお任せします。
単項イデアルであることを示します。
C[[x]]のあるイデアルをIと置きます。Iの中の最低次数の多項式をf(x)≠0とし、
degf(x)=nとします。
g(x)∈Iに対し、∃h(x),∃r(x)∈C[[x]] g(x)=h(x)f(x)+r(x)
かつdegr(x)<nとなるようにできます。
g(x)∈I,f(x)∈Iより、r(x)=g(x)-h(x)f(x)∈I
degr(x)<nより、r(x)≠0とすると、これはnがIの最低次数であることに
矛盾します。
よってr(x)=0
g(x)は任意なので、これはI=(f(x))であることを意味します。
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