 | 2007/01/16(Tue) 10:45:24 編集(投稿者)
差分商には以下の性質があります。
{f[x_0,・・・,x_(n-1)]-f[x_1,・・・,x_n-1,x_n]}/(x_0-x_n)
=f[x_0,・・・,x_(n-1),x_n]・・・①
この証明は式を変形すれば容易にできると思います。
またf[x_0,・・・,x_n]はx_iに関する対称式です。
f(x)がN次の多項式の時、f[x_0,・・・,x_n]は最高次がαΣx_i^(N-n)(αは適当な
定数)の多項式であることを帰納法で証明します。
但しN-n<0の時はf[x_0,・・・,x_n]=0とします。
以下f(x)はN次の多項式とします。
1)n=1の時、f[x_0,x_1]=[f(x_0)-f(x_1)]/(x_0-x_1)より
f[x_0,x_1]は最高次がα_1Σx_i^(N-1)のN-1次の多項式になります。特に
N=0ならばf[x_0,x_1]=0です。
2)n=k+1の時 f[x_0,・・・,x_k]が最高次α_kΣx_i^(N-k)の多項式ならば
f[x_0,・・・,x_(k+1)]は最高次α_(k+1)Σx_i^(N-k-1)の多項式
になることを証明します。
N≦kの時はf[x_0,・・・,x_k]=const.より、①から
f[x_0,・・・,x_(k+1)]=0
N>kの時
f[x_0,・・・,x_k]をx_0の多項式と思うと、
①とf[x_0,・・・,x_k]が対称式であることを用いることで、
x_0についてf[x_0,・・・,x_(k+1)]が
最高次α_(k+1)x_0^(N-k-1)の多項式になることが
導かれます。f[x_0,・・・,x_(k+1)]はx_iに関して対称式なので、
他の変数に関しても多項式になり、最高次α_(k+1)Σx_i^(N-k-1)
の多項式です。
よって帰納法が示せました。
以上のことからN<nであるならば、f[x_0,・・・,x_n]=0が示せました。
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