| ■21000 / inTopicNo.2) |
Re[1]: 定積分について。
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□投稿者/ ウルトラマン 軍団(105回)-(2007/01/15(Mon) 00:37:10)
 | kamesanさん，こんばんわ．
>
> 問、次の3つの等式を満足する２次関数f(ｘ)を求めよ。
>
> ∫[-1→1]ｆ(x)dx＝1
> ∫[-1→1]xｆ(x)dx＝0
> ∫[-1→1]x^2ｆ(x)dx＝1
>
> ・・・・・・・・・・という問題で、
>
> ｆ(x)＝ax^2+bx+c （ただし、aキ0) とおいて求めると、
> b=0とわかったのですが、a,cの求め方がよくわかりません。
>
> そこの所を教えてください。よろしくお願いします。
>
=ax^{2}+bx+c) とおくと，
dx%20=%201%20%5c%5c
%5cLongleftrightarrow%202%5cdisplaystyle%5cint_{0}^{1}(ax^{2}+c)dx%20=%201%20%5c%5c
%5cLongleftrightarrow%202[%5cfrac{1}{3}x^{3}+cx]_{0}^{1}%20=%201%20%5c%5c
%5cLongleftrightarrow%202%5cleft(%5cfrac{1}{3}+c%5cright)=1%20%5c%5c
%5cLongleftrightarrow%20c=%5cfrac{1}{6}
)
また，
dx%20=%200%20%5c%5c
%5cLongleftrightarrow%20%5cdisplaystyle%5cint_{-1}^{1}(ax^{3}+bx^{2}+cx)dx%20=%200%20%5c%5c
%5cLongleftrightarrow%202%5cdisplaystyle%5cint_{0}^{1}bx^{2}dx%20=%200%20%5c%5c
%5cLongleftrightarrow%202[%5cfrac{1}{3}bx^{3}]_{0}^{1}%20=%200%20%5c%5c
%5cLongleftrightarrow%20%5cfrac{2}{3}b%20=%200%20%5c%5c
%5cLongleftrightarrow%20b%20=%200
)
さらに，
dx%20=%201%20%5c%5c
%5cLongleftrightarrow%20%5cdisplaystyle%5cint_{-1}^{1}(ax^{4}+bx^{3}+cx^{2})dx%20=%201%20%5c%5c
%5cLongleftrightarrow%202%5cdisplaystyle%5cint_{0}^{1}(ax^{4}+cx^{2})dx%20=%201%20%5c%5c
%5cLongleftrightarrow%202[%5cfrac{1}{5}ax^{5}+%5cfrac{1}{3}cx^{3}]_{0}^{1}=1%20%5c%5c
%5cLongleftrightarrow%202%5cleft(%5cfrac{1}{5}a+%5cfrac{1}{3}c%5cright)=1%20%5c%5c
%5cLongleftrightarrow%202%5cleft(%5cfrac{1}{5}a+%5cfrac{1}{18}%5cright)=1%20%5c%5c
%5cLongleftrightarrow%20a=%5cfrac{20}{9}
)
以上より，
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