数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[2]: 微分方程式の解法教えてください。 / Page: 0]

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■20971 / inTopicNo.1)

　微分方程式の解法教えてください。

□投稿者/ わんわん一般人(2回)-(2007/01/14(Sun) 16:57:51)

次の微分方程式です

　dy/dx＋aｙ＝cos(bx)

 ただしa,bは実数

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■20972 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 微分方程式の解法教えてください。

▲▼■

□投稿者/ わんわん一般人(3回)-(2007/01/14(Sun) 16:59:47)

■No20971に返信(わんわんさんの記事)
> 次の微分方程式です
>
> 　dy/dx＋aｙ＝cos(bx)
>
> ただしa,bは実数でa≠0です

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■20981 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 微分方程式の解法教えてください。

▲▼■

□投稿者/ ウルトラマン軍団(100回)-(2007/01/14(Sun) 19:27:22)

わんわんさん，こんばんわ．

>>次の微分方程式です
>>
>>　dy/dx＋aｙ＝cos(bx)
>>
>> ただしa,bは実数でa≠0です

まず，同次方程式：
$2$ \frac{dy}{dx}+ay=0$
の解を求めると，
$2$ \frac{dy}{dx} = -ay$
より，
$2$ y=Ce^{-ax}$
です．

次に，非同次方程式：
$2$ \frac{dy}{dx}+ay = \cos (bx)$
の特殊解を求めます．特殊解を
$2$ y=C_{1}\sin (bx)+C_{2}\cos (bx)$
とおくと，
$2$ bC_{1}\cos (bx)-bC_{2}\sin (bx)+a(C_{1}\sin (bx)+C_{2}\cos (bx))=\cos (bx) \\ \Longleftrightarrow (bC_{1}+aC_{2}-1)\cos (bx)+(-bC_{2}+aC_{1})\sin (bx)=0$
これが恒等的に成立するための条件は $2$\cos (bx),\sin (bx)$ の独立性より，
$2$ \left\{ \begin{array}{l} bC_{1}+aC_{2} = 1 \\ aC_{1}-bC_{2} = 0 \end{array} \right. \\ \Longleftrightarrow C_{1}=\frac{b}{a^{2}+b^{2}},\quad C_{2}=\frac{a}{a^{2}+b^{2}}$
よって，同次方程式と特殊解の重ね合わせより，
$2$ y=Ce^{-ax}+\frac{b}{a^{2}+b^{2}}\sin (bx)+\frac{a}{a^{2}+b^{2}}\cos (bx)$
となります．

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