数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[8]: （削除） / Page: 0]

数学ナビゲーター掲示板
(現在過去ログ2 を表示中)

[ 最新記事及び返信フォームをトピックトップへ ]

■20960 / inTopicNo.1)

　体積、曲面積、３重積分

□投稿者/ ken 一般人(1回)-(2007/01/14(Sun) 03:47:59)

分からないのでお願いします！！
出来れば完全解答でお願いします…（汗）

a＞0，b＞0のとき
(１)曲面z=x^2+y^2と平面z=2xに囲まれた立体の体積を求めよ．
(２)曲面(x^2+y^2+z^2)^2=zで囲まれた立体の体積求めよ．
(４)球面x^2+y^2+z^2=4の曲面x^2+y^2=2z+1より上にある部分の曲面積を求めよ．
(３)アステロイドx^(2/3)+y^(2/3)=a^(2/3)をx軸のまわりに回転した図形の曲面積を求めよ．
(４)円x^2+(y-b)^2=a^2をx軸のまわりに回転した図形の曲面積を求めよ
(５)∫∫∫ydxdydz　積分領域;x,y,z≧0，x+2y+3z≧6

お願いします！！

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■20964 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 体積、曲面積、３重積分

▲▼■

□投稿者/ ウルトラマン付き人(97回)-(2007/01/14(Sun) 13:54:35)

kenさん，こんばんわ．

五月雨式ですが．．．．

> 分からないのでお願いします！！
> 出来れば完全解答でお願いします…（汗）
>
> a＞0，b＞0のとき
> (１)曲面z=x^2+y^2と平面z=2xに囲まれた立体の体積を求めよ．

まずはこの問題だけ，解答します．

曲面 $2$z=x^{2}+y^{2}$ と平面 $2$z=2x$ の交線を $2$xy$ 平面へ正射影した図形の方程式は，
$2$ x^{2}+y^{2}=2x \\ \Longleftrightarrow (x-1)^{2}+y^{2}=1$
であるから，不等式 $2$(x-1)^{2}+y^{2}\leq 1$ で表される領域を $2$D$ ，求める体積を $2$V$ とすると，
$2$ V = \iint_{D}(2x-(x^{2}+y^{2})dxdy \\ =\iint_{D}(1-(x-1)^{2}-y^{2})dxdy$
ここで，
$2$ x-1=r\cos \theta, y=r\sin \theta \\ \Longleftrightarrow x=r\cos \theta+1, y=r\sin \theta$
（ただし， $2$0\leq r\leq 1,0\leq \theta\leq 2\pi$ ）のように平面極座標に変換すると，
$2$ dxdy = rdrd\theta$
であるから，
$2$ V = \displaystyle\int_{0}^{1}dr\displaystyle\int_{0}^{2\pi}d\theta r\left(1-r^{2}\cos ^{2}\theta-r^{2}\sin ^{2}\theta\right) \\ =\displaystyle\int_{0}^{1}r(1-r^{2})dr\displaystyle\int_{0}^{2\pi}d\theta \\ =\displaystyle\int_{0}^{1}(-r^{3}+r)dr\displaystyle\int_{0}^{2\pi}d\theta \\ =[-\frac{1}{4}r^{4}+\frac{1}{2}r^{2}]_{0}^{1}\cdot 2\pi \\ =\frac{\pi}{2}$

> (２)曲面(x^2+y^2+z^2)^2=zで囲まれた立体の体積求めよ．
> (４)球面x^2+y^2+z^2=4の曲面x^2+y^2=2z+1より上にある部分の曲面積を求めよ．
> (３)アステロイドx^(2/3)+y^(2/3)=a^(2/3)をx軸のまわりに回転した図形の曲面積を求めよ．
> (４)円x^2+(y-b)^2=a^2をx軸のまわりに回転した図形の曲面積を求めよ
> (５)∫∫∫ydxdydz　積分領域;x,y,z≧0，x+2y+3z≧6
>
> お願いします！！

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■20966 / inTopicNo.3)

　Re[1]: 体積、曲面積、３重積分

▲▼■

□投稿者/ X 一般人(29回)-(2007/01/14(Sun) 14:54:11)

(2)
高校数学での解答だと以下のような回答になります。

与式より
z≧0 (A)
かつ
x^2+y^2+z^2=√z (B)
(B)より
x^2+y^2=√z-z^2 (C)
(C)より問題の曲面はz軸を回転軸とする回転体の側面であり、平面z=Z0での断面の半径をrとすると
r^2=√z-z^2
そこで曲面のz軸方向の範囲を求めるため
√z-z^2≧0
を解くと
0≦z≦1
よって求める体積をVとすると
V=π∫[z:0→1](r^2)dz
=π∫[z:0→1](√z-z^2)dz
=(2/3-1/3)π
=π/3

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■21003 / inTopicNo.4)

　Re[1]: 体積、曲面積、３重積分

▲▼■

□投稿者/ ウルトラマン軍団(106回)-(2007/01/15(Mon) 03:24:12)

kenさん，こんばんわ．

たびたび，五月雨式ですが．．．

> (４)球面x^2+y^2+z^2=4の曲面x^2+y^2=2z+1より上にある部分の曲面積を求めよ．

$2$x^{2}+y^{2}$ を消去すると，
$2$ 4-z^{2}=2z+1\geq 0 \\ \Longleftrightarrow z^{2}+2z-3=0, \quad -2\leq z\leq 2 \\ \Longleftrightarrow (z+3)(z-1)=0 ,\quad -2\leq z\leq 2 \\ \Longleftrightarrow z=1$
よって，球面 $2$x^{2}+y^{2}+z^{2}=4$ の $2$1\leq z\leq 2$ の部分 $2$W$ の表面積 $2$S$ を求めればよい．曲面 $2$W$ の方程式は，
$2$ z=\sqrt{4-x^{2}-y^{2}}\equiv f(x,y)$
であり， $2$W$ を $2$xy$ 平面へ射影した領域 $2$D$ は不等式
$2$ x^{2}+y^{2}\leq 2$
で与えられるから，
$2$ S=\iint_{D}\sqrt{f_{x}^{2}+f_{y}^{2}+1}dxdy$
ここで，
$2$ f_{x} = \frac{-2x}{2\sqrt{4-x^{2}-y^{2}}}=-\frac{x}{\sqrt{4-x^{2}-y^{2}}},\\ f_{y} = -\frac{y}{\sqrt{4-x^{2}-y^{2}}}, \\ \sqrt{f_{x}^{2}+f_{y}^{2}+1} \\ =\sqrt{\frac{x^{2}}{4-x^{2}-y^{2}}+\frac{y^{2}}{4-x^{2}-y^{2}}+1} \\ =\frac{2}{\sqrt{4-x^{2}-y^{2}}}$
であるから，
$2$ S=\iint_{D}\frac{2}{\sqrt{4-x^{2}-y^{2}}}dxdy$
この２重積分を実行するために， $2$(x,y)$ を平面極座標：
$2$ x=r\cos \theta, y=r\sin \theta$
（ただし， $2$0\leq r\leq 2, 0\leq \theta\leq 2\pi$ ）
に変換すると，
$2$ dxdy=rdrd\theta$
であるから，
$2$ S = \displaystyle\int_{0}^{2}dr\displaystyle\int_{0}^{2\pi}d\theta \frac{r}{\sqrt{4-r^{2}}} \\ =-\frac{1}{2}\displaystyle\int_{0}^{2}\frac{(4-r^{2})'}{\sqrt{4-r^{2}}}\displaystyle\int_{0}^{2\pi}d\theta \\ =-[\sqrt{4-r^{2}}]_{0}^{2}\cdot [\theta]_{0}^{2\pi} \\ =8\pi$
となります．

> (３)アステロイドx^(2/3)+y^(2/3)=a^(2/3)をx軸のまわりに回転した図形の曲面積を求めよ．
> (４)円x^2+(y-b)^2=a^2をx軸のまわりに回転した図形の曲面積を求めよ
> (５)∫∫∫ydxdydz　積分領域;x,y,z≧0，x+2y+3z≧6
>
> お願いします！！

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■21004 / inTopicNo.5)

　Re[1]: 体積、曲面積、３重積分

▲▼■

□投稿者/ ウルトラマン軍団(107回)-(2007/01/15(Mon) 04:27:18)

kenさん，こんばんわ．

たびたびの五月雨式ですが．．．．

> (３)アステロイドx^(2/3)+y^(2/3)=a^(2/3)をx軸のまわりに回転した図形の曲面積を求めよ．

与えられた曲線は $2$x,y$ 軸に対して対称なので，第 $2$1$ 象限の部分を $2$x$ 軸の周りに回転して得られる図形の曲面の面積を $2$2$ 倍すればよい．

第 $2$1$ 象限では，
$2$ x^{2/3}+y^{2/3}=1 \\ \Longleftrightarrow y^{2/3} = 1-x^{2/3} \\ \Longleftrightarrow y^{2} = (1-x^{2/3})^{3} \\ \Longleftrightarrow y = (1-x^{2/3})^{3/2}\equiv f(x), \quad 0\leq x\leq 1$
であるから，求める曲面の面積 $2$S$ は，
$2$ S = 2\cdot 2\pi\displaystyle\int_{0}^{1}f(x)\sqrt{(f'(x))^{2}+1}dx$
ここで，
$2$ f'(x) = \frac{3}{2}(1-x^{2/3})^{1/2}\cdot\left(-\frac{2}{3}\right)x^{-1/3} \\ 1+(f'(x))^{2} = \left(1-x^{2/3}\right)x^{-2/3}+1=x^{-2/3}$
であるから，
$2$ S = 4\pi\displaystyle\int_{0}^{1}(1-x^{2/3})^{3/2}x^{-1/3}dx \\ =4\pi\displaystyle\int_{0}^{1}-\frac{3}{2}(1-x^{2/3})^{3/2}(1-x^{2/3})'dx \\ =-6\pi [\frac{2}{5}(1-x^{2/3})^{5/2}]_{0}^{1} \\ =6\pi\cdot\frac{2}{5} \\ =\frac{12}{5}\pi$
となります．

> (４)円x^2+(y-b)^2=a^2をx軸のまわりに回転した図形の曲面積を求めよ
> (５)∫∫∫ydxdydz　積分領域;x,y,z≧0，x+2y+3z≧6
>
> お願いします！！

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■21006 / inTopicNo.6)

　Re[2]: 体積、曲面積、３重積分

▲▼■

□投稿者/ ken 一般人(2回)-(2007/01/15(Mon) 09:27:47)

解答有難うございます！！

…（２）は大学数学を用いて解くとどのようになるのでしょうか？？
あと、（３）ですが、答えをみると8πではなく、4πと書いてあります…
アステロイドの問題は、１をa^(2/3)に置き換えて計算したらいいんですよね？

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■21012 / inTopicNo.7)

　Re[3]: 体積、曲面積、３重積分

▲▼■

□投稿者/ ウルトラマン軍団(108回)-(2007/01/15(Mon) 14:55:06)

kenさん，こんばんわ．

> 解答有難うございます！！
>
> …（２）は大学数学を用いて解くとどのようになるのでしょうか？？

３重積分を用いて計算するなら，次のようになるかと．．．

つまり，
$2$ (x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2} = z \\ \Longleftrightarrow x^{2}+y^{2}+z^{2} = \sqrt{z} \\ \Longleftrightarrow x^{2}+y^{2}=\sqrt{z}-z^{2}$
より，与えられた曲面で囲まれた領域 $2$D$ は，
$2$ x^{2}+y^{2}\leq \sqrt{z}-z^{2}$
と書けるので，求める体積は
$2$ V = \iiint_{D}dxdydz$
となります．この３重積分を計算するために， $2$(x,y,z)$ を次のような円柱座標に変換する：
$2$ x=r\cos \theta, y=r\sin \theta, z=z$
（ただし， $2$0\leq r\leq 1, 0\leq z\leq 1, 0\leq \theta\leq 2\pi$ ）
すると，領域 $2$D$ は
$2$ r^{2}\leq \sqrt{z}-z^{2} \\ \Longleftrightarrow -\sqrt{\sqrt{z}-z^{2}}\leq r\leq \sqrt{\sqrt{z}-z^{2}}$
と書けます．また，変数変換 $2$(x,y,z)\to(r,\theta,z)$ のヤコビアンは $2$r$ ですから，
$2$ dxdydz = rdrd\theta dz$
となり，
$2$ V=\displaystyle\int_{0}^{2\pi} d\theta \displaystyle\int_{0}^{1} dz \displaystyle\int_{-\sqrt{\sqrt{z}-z^{2}}}^{\sqrt{\sqrt{z}-z^{2}}} rdr$
あとは，この３重積分を計算するだけです．

> あと、（３）ですが、答えをみると8πではなく、4πと書いてあります…

あ，すみません．若干計算ミスしてます．
まず，積分領域 $2$D$ は
球面 $2$x^{2}+y^{2}+z^{2}=4$ の $2$1\leq z\leq 2$ の部分を $2$xy$ 平面上へ射影した領域なので，
$2$ D:x^{2}+y^{2}\leq 3$
となります．

従って，平面極座標に変換したあとの積分領域は
$2$ 0\leq r\leq \sqrt{3}, 0\leq \theta\leq 2\pi$

よって，最後の体積計算は
$2$ S = \displaystyle\int_{0}^{\sqrt{3}}dr\displaystyle\int_{0}^{2\pi}d\theta\frac{2r}{\sqrt{4-r^{2}}} \\ =-\displaystyle\int_{0}^{\sqrt{3}}\frac{(4-r^{2})'}{\sqrt{4-r^{2}}}\displaystyle\int_{0}^{2\pi}d\theta \\ =-2[\sqrt{4-r^{2}}]_{0}^{\sqrt{3}}\cdot [\theta]_{0}^{2\pi} \\ =4\pi$

となります．

> アステロイドの問題は、１をa^(2/3)に置き換えて計算したらいいんですよね？

その通りです．

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■21021 / inTopicNo.8)

　Re[4]: 体積、曲面積、３重積分

▲▼■

□投稿者/ ken 一般人(3回)-(2007/01/15(Mon) 19:03:57)

ご指導有難うございます。

アステロイドの問題で、
媒介変数x=a(cosθ)^3，y=a(sinθ)^3を用いて解いてみたところ答えにマイナスがつきました。
この問題で媒介変数を用いる場合はなにか特別なことをしなければならないのでしょうか？

(４)円x^2+(y-b)^2=a^2をx軸のまわりに回転した図形の曲面積を求めよ．
の答えは４abπ^2らいいのですがどうしても上手な計算方法が見つかりません…
分かる方は、是非ご指導お願いします！

(５)なのですが、色々と考えた結果…
√(x/6)=rsinθcosφ, √(y/3)=rsinθsinφ,√(z/2)=rcosθ
Ω={(r,θ，φ)|0≦r≦1,0≦θ≦π/2,0≦φ≦π/2}　とおいて、
計算するという方法になったのですが、Ωの範囲に少し地震がありません…
この方法で解けるでしょうか？
ご指導宜しくお願いします。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■21027 / inTopicNo.9)

　Re[5]: 体積、曲面積、３重積分

▲▼■

□投稿者/ ウルトラマン軍団(109回)-(2007/01/15(Mon) 22:55:56)

kenさん，こんばんわ．

> ご指導有難うございます。
>
> アステロイドの問題で、
> 媒介変数x=a(cosθ)^3，y=a(sinθ)^3を用いて解いてみたところ答えにマイナスがつきました。
> この問題で媒介変数を用いる場合はなにか特別なことをしなければならないのでしょうか？

特別なことをしないといけないということはないと思いますよ．ごく普通に，
$2$ S = 2\displaystyle\int_{0}^{a}y\sqrt{\left(\frac{dy}{dx})^{2}+1}dx$
これを $2$\theta$ に関する積分に変換するだけです．具体的には，
$2$ x=a\cos ^{3}\theta, y=a\sin ^{3}\theta,\quad (0\leq \theta\leq \frac{\pi}{2})$
とおくと，
$2$ \frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} \\ =-\frac{3a\sin ^{2}\theta(\cos \theta)}{3a\cos ^{2}(-\sin \theta)} \\ =-\frac{\tan ^{2}\theta}{\tan \theta} \\ =-\tan \theta, \\ dx = -3a\cos ^{2}\theta\sin \theta d\theta$
ですから，
$2$ S = -\displaystyle\int_{\pi/2}^{0}a\sin ^{3}\theta\sqrt{1+\tan ^{2}\theta}(3a\cos ^{2}\theta\sin \theta) d\theta \\ =\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}a\sin ^{3}\theta\sqrt{1+\tan ^{2}\theta}(3a\cos ^{2}\theta\sin \theta) d\theta$
この後を計算してみてください．

>
> (４)円x^2+(y-b)^2=a^2をx軸のまわりに回転した図形の曲面積を求めよ．
> の答えは４abπ^2らいいのですがどうしても上手な計算方法が見つかりません…
> 分かる方は、是非ご指導お願いします！

別に上手な計算方法なんて，ありませんよ．ごく普通に，
$2$ x^{2}+(y-b)^{2}=a^{2} \\ \Longleftrightarrow (y-b)^{2}=a^{2}-x^{2} \\ \Longleftrightarrow y-b = \pm\sqrt{a^{2}-x^{2}} \\ \Longleftrightarrow y = b\pm\sqrt{a^{2}-x^{2}}$
として，
$2$ y_{+}=b+\sqrt{a^{2}-x^{2}}, \\ y_{-}=b-\sqrt{a^{2}-x^{2}}$
とおき，曲面積を計算する公式を適用するだけです．具体的には，
$2$ S = 2\displaystyle\int_{0}^{a}y_{+}\sqrt{(y_{+})'^{2}+1}dx+2\displaystyle\int_{0}^{a}y_{-}\sqrt{(y_{-})'^{2}+1}dx \\ =2\displaystyle\int_{0}^{a}\left(y_{+}\sqrt{(y_{+})'^{2}+1}+y_{-}\sqrt{(y_{-})'^{2}+1}\right)dx$
に代入して計算してみてください．

> (５)なのですが、色々と考えた結果…
> √(x/6)=rsinθcosφ, √(y/3)=rsinθsinφ,√(z/2)=rcosθ
> Ω={(r,θ，φ)|0≦r≦1,0≦θ≦π/2,0≦φ≦π/2}　とおいて、
> 計算するという方法になったのですが、Ωの範囲に少し地震がありません…
> この方法で解けるでしょうか？

これは積分領域の形（三角錐）を考慮すると，球面極座標に変換するのは得策ではありません．順次，累次積分していきましょう．具体的には，
$2$ \iiint_{x,y,z\geq 0, x+2y+3z\leq 6}ydxdydz \\ =\iint_{x,y\geq 0, x+3z\leq 6}dxdz\displaystyle\int_{0}^{(6-x-3z)/2}ydy \\ =\iint_{x,y\geq 0, x+3z\leq 6}dxdz[\frac{1}{2}y^{2}]_{0}^{(6-x-3z)/2} \\ =\iint_{x,y\geq 0, x+3z\leq 6}\frac{1}{2}\left((6-x-3z)/2\right)^{2}dxdz \\ =\frac{1}{8}\iint_{x,y\geq 0, x+3z\leq 6}\left\{x-(6-3z)\right\}^{2}dxdz \\ =\frac{1}{8}\displaystyle\int_{0}^{2}dz\displaystyle\int_{0}^{6-3z}dx\left\{x-(6-3z)\right\}^{2} \\ =\frac{1}{8}\displaystyle\int_{0}^{2}dz[\frac{1}{3}\left\{x-(6-3z)\right\}^{3}]_{0}^{6-3z} \\ =\frac{1}{24}\displaystyle\int_{0}^{2}dz(6-3z)^{3}$
・・・・ってな感じです．．．

ＰＳ．ちなみに，「入門　微分積分」（培風館，三宅著）の演習問題に全く同じような問題が載っているんですが，レポート課題か何かでしょうかヽ(*'ё')ノ．

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■21032 / inTopicNo.10)

　Re[6]: 体積、曲面積、３重積分

▲▼■

□投稿者/ ken 一般人(4回)-(2007/01/16(Tue) 05:03:25)

ウルトラマンさん、ありがとうございます！！

…で、また質問なのです…、

まず、アステロイドの問題で、なぜ0≦θ≦π/2なのですか？
僕は0≦θ≦πで考えていたのですが…

次に、円の回転体の問題ですが…
これは媒介変数表示；x=rcosθ,y-b=rsinθを用いて解くことは出来ないのですが？

三角錐の領域の問題はとても理解できました！！ありがとうございます！！！
…ただ、僕の考え方で…θとφの範囲は合っているでしょうか？？

P.S
ウルトラマンさんの言う通りで、この問題のほとんどはその教科書のものです。
ただ、レポートではなく、テストの為の自主勉強です☆
数学はかなり好きなんで…♪　
ウルトラマンさんもこの教科書を用いてたんですか？？ｗ

こんなに詳しく教えていただいて本当にありがとうございます！！
あと、一問分からない問題が出てきたので、よろしければ教えていただけないでしょうか？

次の３重積分を求めよ．(a＞0)
∫∫∫[Ｖ]zdxdydz　Ｖ=x^2+y^2≦z^2,0≦z≦a

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■21036 / inTopicNo.11)

　Re[7]: 体積、曲面積、３重積分

▲▼■

□投稿者/ サボテン付き人(95回)-(2007/01/16(Tue) 11:25:08)

時間があったので、
次の３重積分を求めよ．(a＞0)
∫∫∫[Ｖ]zdxdydz　Ｖ=x^2+y^2≦z^2,0≦z≦a

だけ回答しておきます。

∫∫∫[Ｖ]zdxdydz=∫_{0～a}z (πz^2)dz=π∫_{0～a}z^3dz
=πa^4/4

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■21058 / inTopicNo.12)

　Re[7]: 体積、曲面積、３重積分

▲▼■

□投稿者/ ウルトラマン軍団(111回)-(2007/01/17(Wed) 00:04:35)

kenさん，こんばんわ．

> まず、アステロイドの問題で、なぜ0≦θ≦π/2なのですか？
> 僕は0≦θ≦πで考えていたのですが…

アステロイドのうち，第一象限の部分のみを考えているからです．
アステロイドは， $2$x$ ， $2$y$ 軸に関して線対称なので，第一象限の部分を $2$x$ 軸の周りに回転して得られた曲面の曲面積を $2$2$ 倍すればOKです．

もちろん，kenさんの考えられた， $2$0\leq \theta\leq \pi$ でもかまいません．この場合は，第一，二象限の部分を考えていることになります．ただし，積分する時に上端/下端を注意する必要がありますねぇ～．
$2$\theta=0\to (x,y)=(a,0)$ ，
$2$\theta=\pi\to (x,y)=(-a,0)$
と対応していますので，積分を計算するときは，
$2$ S = \displaystyle\int_{-a}^{a}\cdots dx \\ =\displaystyle\int_{\pi}^{0}\cdots d\theta$
となります．

> 次に、円の回転体の問題ですが…
> これは媒介変数表示；x=rcosθ,y-b=rsinθを用いて解くことは出来ないのですが？

出来ますよ．
ただし，これも積分範囲に注意する必要があります．
僕の説明の，
$2$ y_{+}=b+\sqrt{a^{2}-x^{2}}$
の部分は，パラメータ表示すると，
$2$ x=a\cos \theta, y=b+a\sin \theta\quad (0\leq\theta\leq\pi)$
また，
$2$ y_{-}=b-\sqrt{a^{2}-x^{2}}$
の部分は，パラメータ表示すると，
$2$ x=a\cos \theta, y=b+a\sin \theta\quad (\pi\leq\theta\\leq 2\pi)$
です．従って，
$2$ S = \displaystyle\int_{-a}^{a}y_{+}\sqrt{(y_{+})'^{2}+1}dx + \displaystyle\int_{-a}^{a}y_{-}\sqrt{(y_{-})'^{2}+1}dx \\$
これを $2$\theta$ に関する積分に変換するだけです．すると，
$2$ S = \displaystyle\int_{\pi}^{0}\cdots d\theta + \displaystyle\int_{\pi}^{2\pi}\cdots d\theta$
となります． $2$\cdots$ の中がどうなるかは，kenさんの方で計算してみてください．

>
> 三角錐の領域の問題はとても理解できました！！ありがとうございます！！！
> …ただ、僕の考え方で…θとφの範囲は合っているでしょうか？？
----kenさんの考え方-------------------------------------------------
√(x/6)=rsinθcosφ, √(y/3)=rsinθsinφ,√(z/2)=rcosθ
Ω={(r,θ，φ)|0≦r≦1,0≦θ≦π/2,0≦φ≦π/2}　とおいて、
計算するという方法になったのですが、Ωの範囲に少し地震がありません…
---------------------------------------------------------------------
↑ $2$\theta,\phi$ の範囲ですが，これであってますよぉ～．
ただし，このように球面極座標に変換した場合は，
$2$ x=6r^{2}\sin ^{2}\theta\cos ^{2}\phi, \\ y=3r^{2}\sin ^{2}\theta\sin ^{2}\phi, \\ z=2r^{2}\cos ^{2}\theta$
となるので， $2$(x,y,z)\to(r,\theta,\phi)$ と変換したときのヤコビアンの計算をするのが非常に面倒臭そうです．

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■21059 / inTopicNo.13)

　Re[7]: 体積、曲面積、３重積分

▲▼■

□投稿者/ ウルトラマン軍団(112回)-(2007/01/17(Wed) 00:11:11)

レスの続きです．

>
> こんなに詳しく教えていただいて本当にありがとうございます！！
> あと、一問分からない問題が出てきたので、よろしければ教えていただけないでしょうか？
>
> 次の３重積分を求めよ．(a＞0)
> ∫∫∫[Ｖ]zdxdydz Ｖ=x^2+y^2≦z^2,0≦z≦a

こちらに関しましては，サボテンさんが既に解答されていますが，もうちょっと詳しく説明すると次のようになります．

円柱座標に変換して，
$2$ x=r\cos \theta, y=r\sin \theta, z=z\quad (0\leq z\leq a, 0\leq\theta\leq 2\pi)$
とおくと，与えられた領域は
$2$ 0\leq\theta\leq 2\pi, r^{2}\leq z^{2}, 0\leq z\leq a \\ \Longleftrightarrow 0\leq\theta\leq 2pi, -z\leq r\leq z, 0\leq z\leq a$
と変換され，ヤコビアンは $2$r$ であることより，
$2$ dxdydz = rdrd\theta dz$
なので，
$2$ \displaystyle\int_{0}^{a}dz\displaystyle\int_{0}^{2\pi}d\theta\displaystyle\int_{-z}^{z}dr r^{2}z$

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■21060 / inTopicNo.14)

　Re[7]: 体積、曲面積、３重積分

▲▼■

□投稿者/ ウルトラマン軍団(113回)-(2007/01/17(Wed) 00:15:35)

> P.S
> ウルトラマンさんの言う通りで、この問題のほとんどはその教科書のものです。
> ただ、レポートではなく、テストの為の自主勉強です☆
> 数学はかなり好きなんで…♪

おぉ．そうでしたか．大学はそろそろ期末試験の時期ですもんねΣ(￣ロ￣lll)
多重積分は数学系はもちろんのこと，物理/工学系の場合でも，２年生以降，専門科目の授業で，バシバシ使うので，少なくとも計算方法については，１年生のうちにしっかりマスターしておいて下さい．

> ウルトラマンさんもこの教科書を用いてたんですか？？ｗ

僕が大学を卒業したのは，もう８年も昔の話になりますが，当時は「入門微分積分（三宅著，培風館）」みたいな便利な本はなく，数学科でないにも関わらず，「解析入門Ⅰ，Ⅱ（杉浦著，東大出版会）」という本をやらされました．ヽ(゜▽、゜)ノ．ただ，物理/工学系に進む場合は教養課程でここまでやる必要はないと思いますねぇ～．

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■21062 / inTopicNo.15)

　Re[8]: 体積、曲面積、３重積分

▲▼■

□投稿者/ サボテン軍団(102回)-(2007/01/17(Wed) 10:26:05)

> 次の３重積分を求めよ．(a＞0)
> ∫∫∫[Ｖ]zdxdydz Ｖ=x^2+y^2≦z^2,0≦z≦a

に関してです。重箱の隅をつつくようで申し訳ありませんが、
ウルトラマンさんの解法では
-z≦r≦zとなっていますが、円柱座標では0≦rであると思います。

また、最後の積分の式が、∫_{-z～z}drr^2となっていますが、
これは∫_[0～z}drrの間違いではないでしょうか?

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■21063 / inTopicNo.16)

　（削除）

▲▼■

□投稿者/ -(2007/01/17(Wed) 10:28:07)

この記事は(投稿者)削除されました

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■21064 / inTopicNo.17)

　Re[6]: （削除）

▲▼■

□投稿者/ 白拓大御所(702回)-(2007/01/17(Wed) 10:31:23)

2007/01/17(Wed) 10:35:02 編集(投稿者)

>(４)円x^2+(y-b)^2=a^2をx軸のまわりに回転した図形の曲面積を求めよ (a,b>0)
に関してですが、

a,bの関係によって場合わけする必要があると思います。
a≦b, a>b　
で答えが変わってきます。
例えば、lim[b→0]S=4πa^2*2=8πa^2≠４a*0π^2=0

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■21065 / inTopicNo.18)

　Re[7]: （削除）

▲▼■

□投稿者/ サボテン軍団(104回)-(2007/01/17(Wed) 11:02:23)

2007/01/17(Wed) 11:04:21 編集(投稿者)

白拓さんのご指摘の通りですが、kenさんの解答を見るにトーラスの表面積を
求める問題なのでしょう。問題設定はa≦bなのではないかと。

以下そうであるとして回答します。
(0,b)を中心とした極座標を取ります。この時円上の微小線素はadθ
y座標はb+asinθです。
これをx軸を中心に回転させるのだから、微小面積要素は
円周の長さ×微小線素=2π(b+asinθ)×adθ

これをθ:0→2πまで積分します。
∫_{0～2π}2π(b+asinθ)×adθ=4π^2ab

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■21069 / inTopicNo.19)

　Re[9]: 体積、曲面積、３重積分

▲▼■

□投稿者/ ウルトラマン軍団(114回)-(2007/01/17(Wed) 11:40:41)

サボテンさん，ご指摘ありがとうございます．

おっしゃられている通り，僕のLatexのタイプミスですΣ(￣ロ￣lll)．

>>次の３重積分を求めよ．(a＞0)
>>∫∫∫[Ｖ]zdxdydz Ｖ=x^2+y^2≦z^2,0≦z≦a
>
> に関してです。重箱の隅をつつくようで申し訳ありませんが、
> ウルトラマンさんの解法では
> -z≦r≦zとなっていますが、円柱座標では0≦rであると思います。

その通りです．正しくは，積分範囲は，
$2$ 0\leq\theta\leq 2\pi, 0\leq r\leq z, 0\leq z\leq a$

また，積分の方に関しては，
$2$ \iiint_{x^{2}+y^{2}\leq z^{2},0\leq z\leq a}zdxdydz \\ =\displaystyle\int_{0}^{a}dz\displaystyle\int_{0}^{2\pi}d\theta\displaystyle\int_{0}^{z}dr\cdot zr \\ =\displaystyle\int_{0}^{a}zdz\displaystyle\int_{0}^{2\pi}d\theta\displaystyle\int_{0}^{z}rdr$
となりますね．

ご指摘ありがとうございました．

> また、最後の積分の式が、∫_{-z～z}drr^2となっていますが、
> これは∫_[0～z}drrの間違いではないでしょうか?

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■21083 / inTopicNo.20)

　Re[8]: （削除）

▲　■

□投稿者/ ken 一般人(5回)-(2007/01/17(Wed) 17:42:55)

みなさん本当に有難うございます！！

たしかに、0＜a＜bでした！汗

こんなに丁寧に教えていただいて…
おかげさまですべて理解することが出来たと思います♪
また、宜しくお願いします！！

解決済み!

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

トピック内ページ移動 / << 0 >>

このトピックに書きこむ

過去ログには書き込み不可

- Child Tree -
Edit By 数学ナビゲーター