数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[6]: 空間ベクトル / Page: 0]

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■20946 / inTopicNo.1)

　空間ベクトル

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□投稿者/ マナ一般人(8回)-(2007/01/13(Sat) 18:06:40)

空間内の2点P(cosΘ、sinΘ、0)、Q(cos2Θ、sin2Θ、√1－sinΘ)と原点Oのつくる三角形OPQの面積の最大値および最小値を求めよ。ただし、0゜≦Θ≦360゜とする。という問題です。お願いします。

(携帯)

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■20947 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 空間ベクトル

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□投稿者/ ウルトラマン付き人(92回)-(2007/01/13(Sat) 18:54:34)

■No20946に返信(マナさんの記事)
> 空間内の2点P(cosΘ、sinΘ、0)、Q(cos2Θ、sin2Θ、√1－sinΘ)と原点Oのつくる三角形OPQの面積の最大値および最小値を求めよ。ただし、0゜≦Θ≦360゜とする。という問題です。お願いします。
>
$2$ \vec{OP}=(\cos \theta,\sin \theta,0),\vec{OQ}=(\cos 2\theta,\sin 2\theta, \sqrt{1-\sin \theta})$
より、
$2$ |\vec{OP}|=\sqrt{\cos ^{2}\theta+\sin ^{2}\theta}=1, \\ |\vec{OQ}|=\sqrt{\cos ^{2}2\theta+\sin ^{2}2\theta+(1-\sin \theta)}=\sqrt{2-\sin \theta}, \\ \vec{OP}\cdot\vec{OQ}=\cos \theta\cos 2\theta+\sin \theta\sin 2\theta=\cos \theta$
であるから、 $2$\vec{OP},\vec{OQ}$ のなす角を $2$\phi$ とすると、
$2$ \cos \phi = \frac{\vec{OP}\cdot\vec{OQ}}{|\vec{OP}||\vec{OQ}|} \\ =\frac{\cos \theta}{\sqrt{2-\sin \theta}} \\ \therefore \sin \phi=\sqrt{1-\cos ^{2}\phi} \\ =\sqrt{1-\frac{\cos ^{2}\theta}{(2-\sin \theta)^2}} \\ =\sqrt{\frac{(4-4\sin \theta+\sin ^{2}\theta)-\cos ^{2}\theta}{(2-\sin \theta)^{2}}} \\ =\frac{\sqrt{4-4\sin \theta+\sin ^{2}\theta-(1-\sin ^{2}\theta)}}{\sqrt{2-\sin \theta}} \\ =\frac{\sqrt{3-\sin \theta+2\sin ^{2}\theta}}{\sqrt{2-\sin \theta}}$
よって、 $2$\triangle{OAB}$ の面積を $2$S$ とすれば、
$2$ S = \frac{1}{2}|\vec{OP}||\vec{OQ}|\sin \phi \\ =1\cdot \sqrt{2-\sin \theta}\cdot \frac{\sqrt{3-\sin \theta+2\sin ^{2}\theta}}{\sqrt{2-\sin \theta}} \\ =\frac{1}{2}\sqrt{3-\sin \theta+2\sin ^{2}\theta} \\ =\frac{1}{2}\sqrt{2\left(\sin \theta-\frac{1}{4}\right)^{2}+\frac{23}{8}}$
$2$-1\leq\sin \theta\leq 1$ であるから、
$2$\sin \theta=\frac{1}{4}$ のとき、 $2$S$ は最小値
$2$ S_{\min}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{23}{8}}=\frac{\sqrt{46}}{8}$
をとり、 $2$\sin \theta=-1$ のとき、 $2$S$ は最大値
$2$ S_{\max}=\frac{\sqrt{6}}{2}$
をとる。

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■20953 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 空間ベクトル

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□投稿者/ ウルトラマン付き人(94回)-(2007/01/14(Sun) 00:06:55)

すみません．

かなり，計算間違いしてましたΣ(￣ロ￣lll)．

以下の解答を参照願います．

【問題】---------------------------------------------------------
空間内の2点P(cosΘ、sinΘ、0)、Q(cos2Θ、sin2Θ、√1－sinΘ)と原点Oのつくる三角形OPQの面積の最大値および最小値を求めよ。ただし、0゜≦Θ≦360゜とする。という問題です。お願いします。
-----------------------------------------------------------------

【解答】
$2$ \vec{OP}=(\cos \theta,\sin \theta,0),\vec{OQ}=(\cos 2\theta,\sin 2\theta, \sqrt{1-\sin \theta})$
より、
$2$ |\vec{OP}|=\sqrt{\cos ^{2}\theta+\sin ^{2}\theta}=1, \\ |\vec{OQ}|=\sqrt{\cos ^{2}2\theta+\sin ^{2}2\theta+(1-\sin \theta)}=\sqrt{2-\sin \theta}, \\ \vec{OP}\cdot\vec{OQ}=\cos \theta\cos 2\theta+\sin \theta\sin 2\theta=\cos \theta$
であるから、 $2$\vec{OP},\vec{OQ}$ のなす角を $2$\phi$ とすると、
$2$ \cos \phi = \frac{\vec{OP}\cdot\vec{OQ}}{|\vec{OP}||\vec{OQ}|} \\ =\frac{\cos \theta}{\sqrt{2-\sin \theta}} \\ \therefore \sin \phi=\sqrt{1-\cos ^{2}\phi} \\ =\sqrt{1-\frac{\cos ^{2}\theta}{2-\sin \theta}} \\ =\sqrt{\frac{(2-\sin \theta)-\cos ^{2}\theta}{2-\sin \theta}} \\ =\frac{\sqrt{2-\sin \theta-(1-\sin ^{2}\theta)}}{\sqrt{2-\sin \theta}} \\ =\frac{\sqrt{1-\sin \theta+\sin ^{2}\theta}}{\sqrt{2-\sin \theta}}$
よって、 $2$\triangle{OAB}$ の面積を $2$S$ とすれば、
$2$ S = \frac{1}{2}|\vec{OP}||\vec{OQ}|\sin \phi \\ =1\cdot \sqrt{2-\sin \theta}\cdot \frac{\sqrt{1-\sin \theta+\sin ^{2}\theta}}{\sqrt{2-\sin \theta}} \\ =\frac{1}{2}\sqrt{1-\sin \theta+\sin ^{2}\theta} \\ =\frac{1}{2}\sqrt{\left(\sin \theta-\frac{1}{2}\right)^{2}+\frac{3}{4}}$
ここで， $2$0\leq\theta\leq 2\pi$ より， $2$-1\leq\sin \theta\leq 1$ であるから、 $2$\sin \theta=\frac{1}{2}\Longleftrightarrow\theta=\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6}$ のとき、 $2$S$ は最小値
$2$ S_{\min}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{3}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{4}$
をとり、 $2$\sin \theta=-1\Longleftrightarrow\theta=\frac{3\pi}{2}$ のとき、 $2$S$ は最大値
$2$ S_{\max}=\frac{\sqrt{3}}{2}$
をとる。

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■20992 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 空間ベクトル

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□投稿者/ マナ一般人(9回)-(2007/01/14(Sun) 22:43:54)

どうしてベクトルＯＱの大きさが√2－sinθになうのですか？あとベクトルＯＱとＯＰの内積の計算はどうやってcosθになるのですか？

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■20995 / inTopicNo.5)

　Re[4]: 空間ベクトル

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□投稿者/ ウルトラマン軍団(102回)-(2007/01/14(Sun) 23:19:21)

マナさん，こんばんわ．

> どうしてベクトルＯＱの大きさが√2－sinθになうのですか？

もうちょっと計算を詳しく書くと，
$2$ |\vec{OQ}|=\sqrt{(\cos 2\theta)^{2}+(\sin 2\theta)^{2}+(\sqrt{1-\sin \theta})^{2}} \\ =\sqrt{\cos ^{2}2\theta+\sin ^{2}2\theta+(1-\sin \theta)} \\ =\sqrt{1+1-\sin \theta} =\sqrt{2-\sin \theta}$
単に三平方の定理を使っているだけです．

>あとベクトルＯＱとＯＰの内積の計算はどうやってcosθになるのですか？

もうちょっと計算を詳しく書くと，
$2$ \vec{OP}\cdot\vec{OQ} \\ =\cos \theta\cdot\cos 2\theta+\sin \theta\cdot\sin 2\theta+0\cdot\sqrt{1-\sin \theta} \\ =\cos \theta\cos 2\theta+\sin \theta\sin 2\theta \\ =\cos (2\theta-\theta) \\ =\cos \theta$
$2$\cos$ の加法定理を使ってます．

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■20997 / inTopicNo.6)

　Re[5]: 空間ベクトル

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□投稿者/ マナ一般人(11回)-(2007/01/14(Sun) 23:35:19)

最初の質問のほうなのですがcos^22θ＋sin^22θは１ですか？

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■20998 / inTopicNo.7)

　Re[6]: 空間ベクトル

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□投稿者/ ウルトラマン軍団(104回)-(2007/01/14(Sun) 23:40:23)

まなさん，こんばんわ．

> 最初の質問のほうなのですがcos^22θ＋sin^22θは１ですか？

そうです． $2$\cos \theta, \sin \theta$ は $2$xy$ 平面上の半径 $2$1$ の円周上の点の $2$x,y$ 座標のこと（※三角関数の定義！）なので，
$2$ \cos ^{2}\theta+\sin ^{2}\theta = 1$
が成立します．これは，三角関数の基礎となる公式です．

この辺の理解が怪しいようなので，もう一度，数学Ⅰの教科書で，「三角比」のところの勉強をすることを深く推奨します．

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