 | A×Aの要素の相等について
(x,y)，(x',y')∈A×Aに対して
x＝x' かつ y＝y'
のとき、(x,y)と(x',y')は等しいといい
(x,y)＝(x',y')
と表す。
でＯＫでしょうか？証明に移ります。
（反射律）
∀(x,y)∈A×Aに対して
x,y∈Aで、RはAにおける半順序だから（反射律を満たすので）
xRx ，yRy
よってQの定義より (x,y)Q(x,y)
これにより、Qは反射律を満たす事が示された。
（推移律）
(x,y)，(x',y')，(x'',y'')∈AxAとして
(x,y)Q(x',y')，(x',y')Q(x'',y'')
とすると
(x,y)Q(x',y') より xRx' ･･････[1] かつ yRy' ･･････[2]
(x',y')Q(x'',y'') より x'Rx'' ･･････[3] かつ y'Ry'' ・・・・・・[4]
が成り立つ。
ここで、x,y,x',y',x'',y''∈Aであり、RはAにおける半順序だから（推移律を満たすので）
[1][3]より xRx''
[2][4]より yRy''
よってQの定義より (x,y)Q(x'',y'')
これにより、Qは推移律を満たす事が示された。
(反対称律）
(x,y)，(x',y')∈AxAとして
(x,y)Q(x',y') かつ (x',y')Q(x,y)
とすると
(x,y)Q(x',y') より xRx' ･･････[1] かつ yRy' ･･････[2]
(x',y')Q(x,y) より x'Rx ･･････[3] かつ y'Ry ・・・・・・[4]
が成り立つ。
ここで、x,y,x',y'∈Aであり、RはAにおける半順序だから（反対称律を満たすので）
[1][3]より x＝x'
[2][4]より y＝y'
よって (x,y)＝(x'',y'')
これにより、Qは反対称律を満たすことが示された。
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