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■20915 / inTopicNo.1)

　積分けいさん

▼■

□投稿者/ kikirara 一般人(1回)-(2007/01/11(Thu) 20:59:15)

ベータ、ガンマ関数を使って計算したいのですが
うまくできないので、教えてください。

∫[-1,1]（1-x^2)^5dx
です。
t=x^2と置いてやろうとしたのですが
範囲が[1,1]になってしまい。。。

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■20917 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 積分けいさん

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□投稿者/ 白拓大御所(693回)-(2007/01/11(Thu) 23:22:53)

I[n]=∫[-1,1]（1-x^2)^ndx=[x(1-x^2)^n][-1,1] - ∫[-1,1]x*n(1-x^2)^(n-1)(-2x)dx
=2n ∫[-1,1]x^2(1-x^2)^(n-1)dx
=-2n ∫[-1,1](1-x^2)(1-x^2)^(n-1)dx+2n ∫[-1,1](1-x^2)^(n-1)dx
=-2nI[n]+2nI[n-1]
I[n]={2n/(2n+1)}I[n-1]
I[1]=∫[-1,1]（1-x^2)dx=4/3
∫[-1,1]（1-x^2)^5dx=I[5]=(10/11)*(8/9)*(6/7)*(4/5)*I[1]
=(2/11)*(8/3)*(2/7)*(4)*(4/3)=512/693

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■20933 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 積分けいさん

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□投稿者/ kikirara 一般人(3回)-(2007/01/12(Fri) 21:31:24)

t=x^2で置いたやりかたで解いてもらえませんか？？

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■20937 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 積分けいさん

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□投稿者/ ウルトラマン付き人(90回)-(2007/01/12(Fri) 23:54:52)

kikiraraさん，こんばんわ．

> t=x^2で置いたやりかたで解いてもらえませんか？？

えぇ～と，もう一回高校レベルの置換積分を復習されることを推奨します．
$2$x\in [-1,1]$ の範囲において， $2$x$ と $2$t=x^{2}$ は１対１に対応してませんから，そのような置換積分は出来ません．

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■20994 / inTopicNo.5)

　ヒント

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□投稿者/ soredeha 一般人(10回)-(2007/01/14(Sun) 22:59:53)

∫[-1,1]（1-x^2)^5dx＝2∫[0,1]（1-x^2)^5dx

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