数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[1]: もう一度。。。 / Page: 0]

数学ナビゲーター掲示板
(現在過去ログ2 を表示中)

[ 最新記事及び返信フォームをトピックトップへ ]

■20911 / inTopicNo.1)

　もう一度。。。

▼■

□投稿者/ あこ一般人(3回)-(2007/01/11(Thu) 19:02:27)

x^(2/3)+y^(2/3)+z^(2/3)≦a^(2/3)
の体積を求めたいので
教えてください！！

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■20935 / inTopicNo.2)

　Re[1]: もう一度。。。

▲▼■

□投稿者/ ウルトラマン付き人(89回)-(2007/01/12(Fri) 23:39:27)

あこさん，こんばんわ．

> x^(2/3)+y^(2/3)+z^(2/3)≦a^(2/3)
> の体積を求めたいので
> 教えてください！！

求める体積は次のような３重積分で計算できます．
$2$ V=\iint_{x^{2/3}+y^{2/3}+z^{2/3}\leq a^{2/3}}dxdydz$
この３重積分を計算するには，次のような変数変換をするといいです．
$2$ x^{1/3}=X, y^{1/3}=Y, z^{1/3}=Z \\ \Longleftrightarrow x=X^{3}, y=Y^{3}, z=Z^{3}$
とおくと，ヤコビアンを計算することにより，
$2$ dxdydz = 27X^{2}Y^{2}Z^{2}dXdYdZ$
であるから，
$2$ V = \iint_{X^{2}+Y^{2}+Z^{2}\leq a^{2/3}}27X^{2}Y^{2}Z^{2}dXdYdZ$
さらに，X,Y,Zを球面極座標に変換して，
$2$ X=r\sin \theta\cos \phi, Y=r\sin \theta\sin \phi, Z=r\cos \theta$
ただし， $2$0\leq r\leq a^{1/3}, 0\leq\phi 2\pi, 0\leq\theta\leq \pi$
とおくと，
$2$ dxdydz = r^{2}\sin \theta drd\theta d\phi$
であるから，
$2$ V=27\displaystyle\int_{0}^{a^{1/3}}dr\displaystyle\int_{0}^{2\pi}d\phi\displaystyle\int_{0}^{\pi}d\theta r^{2}\sin \theta(r\sin \theta\cos \phi)^{2}(r\sin \theta\sin \phi)^{2}(r\cos \theta)^{2} \\ =27\displaystyle\int_{0}^{a^{1/3}}r^{8}dr\displaystyle\int_{0}^{2\pi}\cos ^{2}\phi\sin ^{2}\phi d\phi\displaystyle\int_{0}^{\pi}\sin ^{4}\theta\cos ^{2}\theta d\theta \\ =27\displaystyle\int_{0}^{a^{1/3}}r^{8}dr\displaystyle\int_{0}^{2\pi}\left(\frac{1}{2}\sin 2\phi\right)^{2}d\phi\displaystyle\int_{0}^{\pi}\sin ^{2}\theta\left(\frac{1}{2}\sin 2\theta\right)^{2}d\theta \\ =\frac{27}{16}\displaystyle\int_{0}^{a^{1/3}}r^{8}dr\displaystyle\int_{0}^{2\pi}\sin ^{2}2\phi d\phi\displaystyle\int_{0}^{\pi}\sin ^{2}\theta\sin ^{2}2\theta d\theta$
ここで，
$2$ \displaystyle\int_{0}^{a^{1/3}}r^{8}dr \\ =[\frac{1}{9}r^{9}]_{0}^{a^{1/3}} \\ =\frac{1}{9}a^{3} \\ \displaystyle\int_{0}^{2\pi}\sin ^{2}2\phi d\phi \\ =\displaystyle\int_{0}^{2\pi}\frac{1-\cos 4\phi}{2}d\phi \\ =[\frac{1}{2}\phi-\frac{1}{4}\sin 4\phi]_{0}^{2\pi} \\ =\pi \\ \displaystyle\int_{0}^{\pi}\sin ^{2}\theta\sin ^{2}2\theta d\theta \\ =\displaystyle\int_{0}^{\pi}\frac{1-\cos 2\theta}{2}\frac{1-\cos 4\theta}{2}d\theta \\ =\frac{1}{4}\displaystyle\int_{0}^{\pi}(1-\cos 4\theta-\cos 2\theta+\cos 2\theta\cos 4\theta)d\theta \\ =\frac{1}{4}\displaystyle\int_{0}^{\pi}\left(1-\cos 4\theta-\cos 2\theta-\frac{1}{2}\left(\cos 6\theta-\cos 2\theta\right)\right)d\theta \\ =\frac{1}{4}[\theta-\frac{1}{4}\sin 4\theta-\frac{1}{2}\sin 2\theta-\frac{1}{12}\sin 6\theta+\frac{1}{6}\sin 2\theta]_{0}^{\pi} \\ =\frac{\pi}{4}$
であるから，
$2$ V = \frac{27}{16}\cdot \frac{1}{9}a^{3}\cdot \pi\cdot\frac{\pi}{4} \\ =\frac{3}{64}\pi^{2}a^{3}$
となります．

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

トピック内ページ移動 / << 0 >>

このトピックに書きこむ

過去ログには書き込み不可

- Child Tree -
Edit By 数学ナビゲーター