 | ∫[0～a] r/√(a^2-(rsinθ)^2)dr=-√(a^2-(rsinθ)^2)/sin^2θ|_{0～a}
=|a|(1-|cosθ|)/sin^2θ
2|a|∫[0～2π]|a|(1-|cosθ|)/sin^2θdθ
=4a^2∫[-π/2～π/2](1-cosθ)/sin^2θdθ
=4a^2∫[-π/2～π/2]1/(1+cosθ)dθ・・・①
∫[-π/2～π/2]1/(1+cosθ)dθを求める簡単な方法が思いつかなかったので、
複素積分を行うことにしました。
Cは右半円(単位円)です。z=e^(iθ)とおいて、
-∫[C]2i/(z+1)^2dz
Cauchyの積分定理により、
=-∫[-i～i]2i/(z+1)^2dz=2i/(z+1)|_{-i～i}=2
これを①に代入して、8a^2を得ます。
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