 | f(X)をXの確率密度関数、g(Y)をYの確率密度関数とします。
確率密度関数の局所的な変数変換公式
f(X)=g(Y)|dY/dX|
を用いると、
f(X)=1/√(2π)exp(-X^2/2)より、
1)f(Y)=1/√(2π)exp(-(Y-b)^2/(2a^2))
|dY/dX|=|a|
より、g(Y)=1/[√(2π)|a|]exp(-(Y-b)^2/(2a^2))
2)f(Y)=1/√(2π)exp(-Y/2)
|dY/dX|=2X=2/√Y
g(Y)=√Y/[2√(2π)]exp(-Y/2)
Xの2価分の効果を考慮して、2倍し、
g(Y)=√(Y/2π)exp(-Y/2)
となると思います。
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