 | ■No20867に返信(リュウさんの記事)
> 空間において一辺の長さが１の正四面体OABCがある。
> 底辺の三角形ABC内に点Pがあり、内積についての条件
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> OP・OA＝5/8
> → →
> OP・OB＝3/4をみたしている。
> →
> ①OPをベクトルOA、OB、OCを用いて求めよ。
矢印は省略します。OA=a, OB=b, OC=c, OP=p ベクトルと表記する。
OA=|a|=1, OB=|b|=1, OC=|c|=1
内積 a・b=b・c=c・a=1・1・cos60=1/2
l,m,n は実数として、点Pが△ABC上より p=la+mb+nc, l+m+n=1…①とおける。
p・a=5/8 より (la+mb+nc)・a=5/8 l|a|^2+ma・b+na・c=5/8 すなわち 2l+m+n=5/4…②
p・b=3/4 より (la+mb+nc)・b=3/4 la・b+m|b|^2+na・c=3/4 すなわち l+2m+n=3/2…③
①②③より l=1/4, m=1/2, n=1/4
よって p=1/4・a+1/2・b+1/4・c
> ②線分OPの長さを求めよ。
OP^2=|p|^2=|1/4・(a+2b+c)|^2=11/16
よって OP=√11/4
> ③2点A、Pを通る直線と線分BCの交点をQとするとき、BQ/CQを求めよ。
AQ=kAP とおく。
OQ=OA+AQ=OA+kAP=a+k(p-a)=(1-k)a+kp=(1-3/4・k)a+1/2・kb+1/4・kc
点QはBC上より 1-3/4・k=0 よって k=4/3
このとき OQ=(2b+c)/3 となり、BQ:QC=1:2
よって BQ/CQ=1/2
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