 | (a,b)をとおる直線の方程式は傾きαとして、
y=α(x-a)+bで表されます。
一方三次関数で接するx座標をtとすると、tでの微分係数は3t^2-1なので、
t^3-t=(3t^2-1)(t-a)+b
を満たします。
整理して、
2t^3-3at^2+a+b=0・・・①
これが2つだけ解を持つことが必要です。
つまり重解をもつので、この式をtで微分して、
6t^2-6at=0の解も①の解になります。
この解はt=0,t=a
また①の2解をu,vとすると、接線の直交条件より、(3u^2-1)(3v^2-1)=-1・・・②
1)t=0が重解の時
①に代入して、a+b=0
2t-3a=0より、もう一つの解はt=3a/2
②に代入して、-1(9a^2/4-1)=-1
a=±2√2/3 あとはa+b=0より、bを求めます。
2)t=aが重解の時
①に代入して、-a^3+a+b=0
2t^3-3at^2+a^3=0より、もう一つの解はt=-a/2
②に代入して、(3a^2-1)(3a^2/4-1)=-1
この解は虚数解になります。
よって(a,b)=(2√2/3,-2√2/3)(-2√2/3,2√2/3)
計算はお確かめ下さい。
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