 | ■No20839に返信(sakuraさんの記事)
> 円柱y^2+z^2=a^2の円柱x^2+y^2=a^2の内部にある部分の曲面積
f(x,y)=√(a^2-y^2),fx=0,fy=-y/√(a^2-y^2)
[D|x^2+y^2≦a^2]
S=2∬_D√(1+fx^2+fy^2)dxdy
=2∬_D |a|/√(a^2-y^2)dxdy
{x=rcosθ, y=rsinθ, dxdy=rdrdθ }
=2|a|∫[0〜2π]∫[0〜a] r/√(a^2-(rsinθ)^2)drdθ
=2|a|∫[0〜2π][-√(a^2-(rsinθ)^2)/(sinθ)^2][0〜a] drdθ
=2|a|∫[0〜2π] |a|(1-cosθ)/(sinθ)^2 dθ
=8a^2∫[0〜π/2] (1-cosθ)/(sinθ)^2 dθ
=8a^2 [-1/tanθ+1/sinθ][0〜π/2]= 8a^2(1-lim[ε→0]{-1/tanε+1/sinε})
[lim[ε→0]{-1/tanε+1/sinε}=lim[ε→0]{{(1-cosε)/2}/sinε}
=lim[ε→0]sin^2(ε/2)/sinε=lim[ε→0](ε/2)^2/ε=0 ]
=8a^2//
> 円柱y^2+z^2=a^2の球x^2+y^2+z^2=2a^2の内部にある部分の曲面積
半径a、長さ2aの円柱の側面積に等しいので
S=2πa*2a=4πa^2
> 曲面z=x^2+y^2の平面z=aより下の部分の曲面積
f(x,y)=x^2+y^2,fx=2x,fy=2y, [D|x^2+y^2≦a]
S=∬_D√(1+fx^2+fy^2)dxdy
=∬_D √(1+4(x^2+y^2))dxdy
{x=rcosθ, y=rsinθ, dxdy=rdrdθ }
=∫[0〜2π]∫[0〜a]r√(1+4r^2)drdθ
=2π∫[0〜a]r√(1+4r^2)dr=(π/6)√(1+4r^2)^3[0〜a]=π{√(1+4a^2)^3-1}/6
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