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■20758 / inTopicNo.1)

　図形

□投稿者/ ann 一般人(2回)-(2007/01/08(Mon) 12:16:41)

S（D)＝∫(∂D)ｘｄｙ＝－∫（∂D)ｙｄｘ＝1/2∫（∂D）（xdy-ydx）
をグリーンの定理を使って、証明する問題と、
これを使って、
x=cos^3θ、y=sin^3θで囲まれた図形を求める問題と
r=1+cosθで囲まれた図形を求める問題を教えてください！

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■20760 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 図形

▲▼■

□投稿者/ ウルトラマン付き人(75回)-(2007/01/08(Mon) 14:10:33)

annさん、こんばんわ。

> S（D)＝∫(∂D)ｘｄｙ＝－∫（∂D)ｙｄｘ＝1/2∫（∂D）（xdy-ydx）
> をグリーンの定理を使って、証明する問題と、

えぇ～と、
$2$ \displaystyle\int_{\partial D}xdy + \displaystyle\int_{\partial D}ydx \\ =\displaystyle\int_{\partial D}(ydx+xdy) \\ =\iint_{D}\left(\frac{\partial x}{\partial y}-\frac{\partial y}{\partial x}\right) dxdy \\ =\iint_{D}0dxdy \\ =0 \\ \therefore \displaystyle\int_{\partial D}xdy = -\displaystyle\int_{\partial D}ydx$
また、
$2$ \displaystyle\int_{\partial D}xdy-\frac{1}{2}\displaystyle\int_{\partial D}(xdy-ydx) \\ =\frac{1}{2}\displaystyle\int_{\partial D}(xdy+ydx) \\ =\frac{1}{2}\iint_{D}\left(\frac{\partial y}{\partial y}-\frac{\partial x}{\partial x}\right)dxdy \\ =\frac{1}{2}\iint_{D}(1-1)dxdy \\ =0 \\ \therefore \displaystyle\int_{\partial D}xdy=\frac{1}{2}\displaystyle\int_{\partial D}(xdy-ydx)$
さらに、
$2$ \frac{1}{2}\displaystyle\int_{\partial D}(xdy-ydx) \\ =\frac{1}{2}\iint_{D}\left(\frac{\partial(x)}{\partial x}-\frac{\partial (-y)}{y}\right)dxdy \\ =\frac{1}{2}\iint_{D}(1+1)dxdy \\ =\iint_{D}dxdy \\ =S(D) \\ \therefore S(D)=\frac{1}{2}\displaystyle\int_{\partial D}(xdy-ydx)$
以上で証明終わり。

> これを使って、
> x=cos^3θ、y=sin^3θで囲まれた図形を求める問題と

$2$ dx = 3\cos ^{2}\theta(-\sin \theta)d\theta = -3\cos ^{2}\theta\sin \theta d\theta, \\ dy = 3\sin ^{2}\theta(\cos \theta)d\theta = 3\sin ^{2}\theta\cos \theta d\theta$
であるから、上記の結果を用いると、
$2$ S(D) = \frac{1}{2}\displaystyle\int_{\partial D}(xdy-ydx) \\ =\frac{1}{2}\displaystyle\int_{0}^{2\pi}\left(\cos ^{3}\theta\cdot 3\sin ^{2}\theta\cos \theta d\theta+\sin ^{3}\theta\cdot 3\cos ^{2}\theta\sin \theta d\theta\right) \\ =\frac{1}{2}\displaystyle\int_{0}^{2\pi}\sin ^{2}\theta\cos ^{2}\theta(\sin ^{2}\theta+\cos ^{2}\theta)d\theta \\ =\frac{1}{2}\displaystyle\int_{0}^{2\pi}\left(\frac{1}{2}\sin 2\theta\right)^{2}d\theta \\ =\frac{1}{8}\displaystyle\int_{0}^{2\pi}\sin ^{2}2\theta d\theta \\ =\frac{1}{8}\displaystyle\int_{0}^{2\pi}\frac{1-\cos 2\theta}{2}d\theta \\ =\frac{1}{8}[\frac{1}{2}\theta-\frac{1}{4}\sin 2\theta]_{0}^{2\pi} \\ =\frac{1}{8}\pi$

> r=1+cosθで囲まれた図形を求める問題を教えてください！

ここまで説明すれば同じように出来るのではないでしょうか。。。
$2$ x=r\cos \theta = (1+\cos \theta)\cos \theta, \\ y=r\sin \theta = (1+\cos \theta)\sin \theta$
として、上の計算と同じようにしてやってみてください。。

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■20778 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 図形

▲▼■

□投稿者/ mimi 一般人(2回)-(2007/01/08(Mon) 20:08:26)

（sin２θ）^2の積分ってどうやるんでしたっけ？

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■20781 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 図形

▲▼■

□投稿者/ ウルトラマン付き人(78回)-(2007/01/08(Mon) 20:23:41)

mimiさん，こんばんわ．

> （sin２θ）^2の積分ってどうやるんでしたっけ？
>

これは，高校レベルの数学です．一般的な手法として三角関数の２乗，３乗の積分は，２倍角の公式：
$2$ \cos 2\theta = 2\cos ^{2}\theta-1 = 1-2\sin ^{2}\theta$
や，３倍角の公式：
$2$ \cos 3\theta=4\cos ^{3}\theta-3\cos \theta, \\ \sin 3\theta=3\sin \theta-4\sin ^{3}\theta$
を変形して得られる，以下の式を使って「次数」を下げます．
$2$ \sin ^{2}\theta = \frac{1-\cos 2\theta}{2}, \\ \cos ^{2}\theta = \frac{1+\cos 2\theta}{2}, \\ \cos ^{3}\theta = \frac{\cos 3\theta+3\cos \theta}{4}, \\ \sin ^{3}\theta = \frac{3\sin \theta-\sin 3\theta}{4}$

これを利用すると，
$2$ \displaystyle\int \sin ^{2}2\theta d\theta \\ =\displaystyle\int \frac{1-\cos 2\theta}{2} d\theta \\ =\frac{1}{2}\theta-\frac{1}{4}\sin 2\theta + C$
となります．

しっかりと，高校の数学の教科書を復習しましょう！

ＰＳ．あと，せっかく大学でいろんなことを勉強できるのですから，Texぐらい使えるようになりましょう！＼(^o^)／
　　　　　（sin２θ）^2
なんて書いてたら，卒業させてくれませんよぉ～．．．

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■20782 / inTopicNo.5)

　ちょっと修正．．．

▲▼■

□投稿者/ ウルトラマン付き人(79回)-(2007/01/08(Mon) 20:38:06)

失礼．．．ちょっと計算間違いしてました．．．

> これを利用すると，
-------------------------------------------------------------------
> $2$ \displaystyle\int \sin ^{2}2\theta d\theta \\ =\displaystyle\int \frac{1-\cos 2\theta}{2} d\theta \\ =\frac{1}{2}\theta-\frac{1}{4}\sin 2\theta + C$
-------------------------------------------------------------------
　　　　　　　　↓　　↓　　↓
-------------------------------------------------------------------
$2$ \displaystyle\int \sin ^{2}2\theta d\theta \\ =\displaystyle\int \frac{1-\cos 4\theta}{2} d\theta \\ =\frac{1}{2}\theta-\frac{1}{8}\sin 4\theta + C$
-------------------------------------------------------------------
が正解です．．．

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■20784 / inTopicNo.6)

　Re[5]: ちょっと修正．．．

▲▼■

□投稿者/ mimi 一般人(3回)-(2007/01/08(Mon) 21:00:08)

合ってましたぁ☆

あとぉ～
最後の問題なんですけど、
途中から計算できなくて。。。
できれば書いてください！

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■20785 / inTopicNo.7)

　Re[6]: ちょっと修正．．．

▲▼■

□投稿者/ ウルトラマン付き人(80回)-(2007/01/08(Mon) 21:06:37)

mimiさん，こんばんわ．

> 合ってましたぁ☆
>
> あとぉ～
> 最後の問題なんですけど、
> 途中から計算できなくて。。。
> できれば書いてください！

えぇ～と，「途中から計算できなくて」とあるのですが，どこまで計算出来たのでしょうか？計算できたところまで書いていただけないでしょうか．．．

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■20787 / inTopicNo.8)

　Re[7]: ちょっと修正．．．

▲▼■

□投稿者/ mimi 一般人(4回)-(2007/01/08(Mon) 21:12:16)

S(D)＝・・・って計算していって、
＝1/2∫[0→2](1+cosθ）（１＋cos^3θ＋sin^2θcosθ）ｄθ
ってなりました。
この後ができません。。
ここまであってるのでしょうか？？

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■20792 / inTopicNo.9)

　Re[8]: ちょっと修正．．．

▲▼■

□投稿者/ ウルトラマン付き人(81回)-(2007/01/08(Mon) 22:06:34)

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■20794 / inTopicNo.10)

　Re[8]: ちょっと修正．．．

▲▼■

□投稿者/ ウルトラマン付き人(82回)-(2007/01/08(Mon) 22:19:07)

mimiさん，こんばんわ．

えぇ～と，僕の計算によると，・・・・

> S(D)＝・・・って計算していって、
> ＝1/2∫[0→2](1+cosθ）（１＋cos^3θ＋sin^2θcosθ）ｄθ
> ってなりました。
> この後ができません。。
> ここまであってるのでしょうか？？

$2$ x=r\cos \theta=(1+\cos \theta)\cos \theta=\cos \theta+\cos ^{2}\theta, \\ y=r\sin \theta=(1+\cos \theta)\sin \theta=\sin \theta+\frac{1}{2}\sin 2\theta$
より，
$2$ dy = \left(\cos \theta+\cos 2\theta\right)d\theta$
であるから，
$2$ S(D) = \displaystyle\int_{\partial D}xdy \\ =\displaystyle\int_{0}^{2\pi}(\cos \theta+\cos ^{2}\theta)\left(\cos \theta+\cos 2\theta\right)d\theta \\ =\displaystyle\int_{0}^{2\pi}\left(\cos ^{2}\theta+\cos \theta\cos 2\theta+\cos ^{3}\theta+\cos ^{2}\theta\cos 2\theta\right)d\theta \\ =\displaystyle\int_{0}^{2\pi}\left(\cos ^{2}\theta+\cos ^{2}\theta\cos 2\theta\right)d\theta \\ =\displaystyle\int_{0}^{2\pi}\cos ^{2}\theta\left(1+\cos 2\theta\right)d\theta \\ =\frac{1}{2}\displaystyle\int_{0}^{2\pi}(1+\cos 2\theta)^{2}d\theta \\ =\frac{1}{2}\displaystyle\int_{0}^{2\pi}\left(1+2\cos 2\theta+\cos ^{2}2\theta\right)d\theta \\ =\frac{1}{2}\displaystyle\int_{0}^{2\pi}\left(1+2\cos 2\theta+\frac{1+\cos 4\theta}{2}\right)d\theta \\ =\frac{1}{2}\displaystyle\int_{0}^{2\pi}\left(\frac{3}{2}+2\cos 2\theta+\frac{1}{2}\cos 4\theta\right)d\theta \\ =\frac{1}{2}[\frac{3}{2}\theta+\sin 2\theta+\frac{1}{8}\sin 4\theta]_{0}^{2\pi} \\ =\frac{3}{2}\pi$

となります．

以上の計算過程を目で追わずに，紙と鉛筆を使って追ってくださいねぇ～．．．

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■20798 / inTopicNo.11)

　Re[9]: ちょっと修正．．．

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□投稿者/ mimi 一般人(6回)-(2007/01/08(Mon) 22:59:03)

えっと
∫（∂D）（cos^2θ＋cosθcos2θ＋cos^3θ＋cos^2θcos2θ）dθ
の次にいくところがわかりません。。
なんでcosθcos2θ＋cos^3θが消えているんですか？

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■20800 / inTopicNo.12)

　Re[10]: ちょっと修正．．．

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□投稿者/ ウルトラマン付き人(84回)-(2007/01/08(Mon) 23:23:06)

mimiさん，こんばんわ．

> えっと
> ∫（∂D）（cos^2θ＋cosθcos2θ＋cos^3θ＋cos^2θcos2θ）dθ
> の次にいくところがわかりません。。
> なんでcosθcos2θ＋cos^3θが消えているんですか？

$2$\cos \theta\cos 2\theta$ や， $2$\cos ^{3}\theta$ は，周期 $2$2\pi$ の周期関数で，かつ１周期分の平均値が $2$0$ だからです．

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■20834 / inTopicNo.13)

　Re[9]: ちょっと修正．．．

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□投稿者/ mimi 一般人(7回)-(2007/01/09(Tue) 18:36:17)

S(D)の３、４段目なんですけど
なんで、cosθcos2θ+cos^3θがなくなったんですか？

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