 | ririさん，こんばんわ．
線積分の定義に従って計算するだけです，つまり，曲線 がパラメータ によって，
,%20y=y(t),%20a%5cleq%20t%5cleq%20b
)
と表されるとき，上での線積分を
dx%20+%20g(x,y)dy%20%5cequiv%20%5cdisplaystyle%5cint_{a}^{b}%5cleft(f(x,y)%5cfrac{dx}{dt}+g(x,y)%5cfrac{dy}{dt}%5cright)dt
)
と定義する．もっと詳しい説明は，お手持ちの大学の解析学の教科書を参考にしてください．
この定義に従って，計算すると，
> ∫（ｃ）x^2ｄｘ＋２ｘｙｄｙ
> ｃ：（１，１）から（−１，３）へ直線で結んだもの
をパラメータ表示すると，
=1-t,y(t)=1+t,0%5cleq%20t%5cleq%202
)
ですから，
となり，
^{2}(-1)dt%20+%202(1-t)(1+t)dt%20%5c%5c
=%5cdisplaystyle%5cint_{0}^{2}%20{(1-2t+t^{2})+2(1-t^{2})}dt%20%5c%5c
=%5cdisplaystyle%5cint_{0}^{2}%20(-t^{2}-2t+3)dt%20%5c%5c
=[-%5cfrac{1}{3}t^{3}-t^{2}+3t]_{0}^{2}%20%5c%5c
=-%5cfrac{2}{3}
)
>
> ∫（ｃ）ｘｙｄｘ＋e^(x^2)ｄｙ
> ｃ：y=x^2、方向：（０，０）→（２，４）
をパラメータ表示すると，
=t,%20y(t)=t^{2},%200%5cleq%20t%5cleq%202
)
ですから，
となり，
%20%5c%5c
=%5cdisplaystyle%5cint_{0}^{2}(t^{3}+(e^{t^{2}})')dt%20%5c%5c
=[%5cfrac{1}{4}t^{4}+e^{t^{2}}]_{0}^{2}%20%5c%5c
=4+e^{4}-e^{0}%20%5c%5c
=e^{4}+3
)
>
> もうひとつわからないのがあります。
> これは線積分を重積分に帰着させて解く問題です。
>
これもお手持ちの大学の解析学の教科書を開いて，まずはグリーンの定理とはどういものをかを確認しましょう．
以下，簡単に書くと次のようになります．
【グリーンの定理】
 の境界が有限個の正則曲線からなり， がを含む開集合で 球であるならば，
dxdy%20=%20%5cdisplaystyle%5cint_{C}Pdx+Qdy
)
ただし，はの境界を表し正の向きが付けられているとする．
> ∫（ｃ）(e^x＋ｙ）ｄｘ＋（y^4＋x^3）ｄｙ
> ｃ：単位円を時計の反対回りに一周
> グリーンの定理を使うと思うんですけど、
> できません。。
> 教えてください！
このグリーンの定理に従えば，
dx%20+%20(y^{4}+x^{3})dy%20%5c%5c
=%5ciint_{D}(3x^{2}-1)dxdy
)
ただし，はによって囲まれた領域で，
この重積分を計算するために， を次のような平面極座標に変換する：
すると，%5cto(r,%5ctheta)) のヤコビアンを計算することにより，
であるから，
dxdy%20%5c%5c
=%5cdisplaystyle%5cint_{0}^{1}dr%5cdisplaystyle%5cint_{0}^{2%5cpi}d%5ctheta%20r%5ccdot(3r^{2}%5ccos%20%20^{2}%5ctheta-1)%20%5c%5c
=%5cdisplaystyle%5cint_{0}^{1}dr3r^{3}%5cdisplaystyle%5cint_{0}^{2%5cpi}d%5ctheta%20%5ccos%20%20^{2}%5ctheta-%5cdisplaystyle%5cint_{0}^{1}dr%5cdisplaystyle%5cint_{0}^{2%5cpi}d%5ctheta%20%5c%5c
=[%5cfrac{3}{4}r^{4}]_{0}^{1}%5cdisplaystyle%5cint_{0}^{2%5cpi}d%5ctheta%5cfrac{1+%5ccos%20%20%202%5ctheta}{2}-2%5cpi%20%5c%5c
=%5cfrac{3}{4}[%5cfrac{1}{2}%5ctheta+%5cfrac{1}{4}%5csin%20%20%202%5ctheta]_{0}^{2%5cpi}-2%5cpi%20%5c%5c
=%5cfrac{3}{4}%5cpi%20-%202%5cpi%20%5c%5c
=-%5cfrac{5}{4}%5cpi
)
となります．
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