| ■20720 / inTopicNo.2) |
Re[1]: 早稲田の過去問です
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□投稿者/ ウルトラマン 付き人(68回)-(2007/01/07(Sun) 00:22:38)
 | ■No20716に返信(yesterdayさんの記事)
> 自然数ｎに対してa(n)=∫[1→e]x^2*(logx)^n dxとおく。
> １）1≦x≦eのときlogx≦x/eを示せ。
これは，
%20=%20%5cfrac{x}{e}-%5clog%20%20%20x
)
とおくと，
%20=%20%5cfrac{1}{e}-%5cfrac{1}{x}
)
より， のとき，<0) であるから，) は，の範囲で単調減少．よって，
%20%5c%5c
%5cgeq%20f(e)%20
=%20%5cfrac{e}{e}-%5clog%20%20%20e%20%5c%5c
=%200%20%5c%5c
)
つまり，
> ２）lim[n→∞]a(n)の値を求めよ。
(1)の結果より，
^{n}dx%20%5c%5c
%5cleq%20%5cdisplaystyle%5cint_{1}^{e}x^{2}%5cleft(%5cfrac{x}{e}%5cright)^{n}dx%20%5c%5c
=%5cdisplaystyle%5cint_{1}^{e}%5cfrac{x^{n+2}}{e^{n+2}}%20dx%20%5c%5c
=[%5cfrac{1}{(n+3)e^{n+2}}x^{n+3}]_{1}^{e}%20%5c%5c
=%5cfrac{e^{n+3}-1}{{(n+3)e^{n+2}}%20%5c%5c
=%5cfrac{e}{n+3}-%5cfrac{1}{{(n+3)e^{n+2}}
)
であり，
e^{n+2}}%5cright)%20=%200
)
であるから，はさみうちの原理より，
> ３）lim[n→∞]na(n)の値を求めよ。
>
> 誰か助けて下さい。早稲田の教育学部の過去問です。
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