| ■20695 / inTopicNo.3) |
Re[1]: 三角関数と不等式の証明
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□投稿者/ 平木慎一郎 大御所(650回)-(2007/01/06(Sat) 16:10:19)
 | > 次の不等式を証明せよ。
> ただしa,bは実数。
>
> |a+b|/(1+|a+b|)≦|a|/(1+|a|)+|b|/(1+|b|)
補題 |x+y|≦|x|+|y|
x^2+2|x||y|+y^2-x^2-2xy-y^2
=2(|x||y|-xy)≧0
補題② |x|≦|y|で|x|/(1+|x|)≦|y|/(1+|y|)
右辺-左辺の式変形で容易に証明。
これらから
|x+y|/(1+|x+y|)≦(|x|+|y|)/(1+|x|+|y|)=|x|/(1+|x|+|y|)+|y|/(1+|x|+|y|)
≦|x|/(1+|x|)+|y|/(1+|y|)
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