 | ■No2065に返信(レメヘホさんの記事)
> 最大公約数の証明問題で、
>
> (a,b)=1ならば、(a,bc)=(a,c)であることを示せ。
> ただし、a,b,cは自然数とする。
>
> というような問題なんですが、なんとも…。
> どなたか解法を教えて頂けないでしょうか？
[答]
(a,b)=1なので、a、bは互いに素である。
ⅰ)cがa、bと互いに素、またはaのみと互いに素であるとき
(a,bc)=1
(a,c)=1 ∴(a,bc)=(a,c)
ⅱ)cがbのみと互いに素であるとき
a=a'p 、c=a'q (p,qは自然数で、互いに素) とおける。すると、
(a,bc)=(a'p,a'bq)=a'
(a,c)=(a'p,a'q)=a' ∴(a,bc)=(a,c)
ⅲ)cがa、bどちらとも互いに素でないとき
a=a''x 、b=b'y 、c=a''b'z (x、y、zは自然数で、互いに素) とおける。すると、
(a,bc)=(a''x,a''b'^2yz)=a''
(a,c)=(a''x,a''b'z)=a'' ∴(a,bc)=(a,c)
ⅰ)ⅱ)ⅲ)より、すべての自然数において、(a,b)=1ならば、(a,bc)=(a,c)である。
(証明終)
…というようにすれば証明できると俺は思うのですが、どうでしょう？^^；
これは「互いに素」というものの考え方を知っていれば出来ます。ポイントはｃの場合分けですかね。aとc、bとcの関係を考えるわけですので、それぞれに対して互いに素か素でないかで２パターン×２＝４通りに場合分けするのですが、同じ経緯の2つをⅰ)にまとめました。ⅱ)とⅲ)は本質的には一緒ですが、採点者に分かりやすいように場合分けしたほうが無難でしょう。(採点者が頭いいとは限りません。本当に)
ⅱ)で (a,bc)=(a'p,a'bq)=a' となるのは、(a,b)=(a'p,b)=1より、a'とb、pとbが互いに素であるからです。(他も同様)心配ならばこの点も証明に盛り込みましょう。
何か他にいい解法ありますかね～。(''
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