 | digiさん，新年明けましておめでとうございます．
> 曲面 とx,y,z平面で囲まれる部分の体積を求めたいのですが。
>
> まず、積分領域はz=0として、 とx軸、y軸で囲まれる部分でいいでしょうか？それから、曲面の式をzについての式に変形してそれを累次積分すれば求まりますよね？
>
> これでやるとかなり面倒なのですが、ほかにやりかたはないでしょうか？
えぇ〜と要するに，次の連立不等式で表される領域 の体積 を求めればよいわけです．
そこで，領域を平面 （ただし， ）で切った時の切り口を考えると，その関係式は，
^{2}
)
であるから，切り口の面積) は，
%20%5c%5c
=%5cdisplaystyle%5cint_{0}^{(1-%5csqrt{t})^{2}}%20(1-%5csqrt{t}-%5csqrt{x})^{2}%20dx%20%5c%5c
=%5cdisplaystyle%5cint_{0}^{(1-%5csqrt{t})^{2}}%20x-2(1-%5csqrt{t})%5csqrt{x}+(%5csqrt{t}-1)^{2}%20dx%20%5c%5c
=[%5cfrac{1}{2}x^{2}-%5cfrac{4}{3}(1-%5csqrt{t})x^{3/2}+(%5csqrt{t}-1)^{2}x]_{0}^{(1-%5csqrt{t})^{2}}%20%5c%5c
=%5cfrac{1}{2}(1-%5csqrt{t})^{4}-%5cfrac{4}{3}(1-%5csqrt{t})^{4}+(1-%5csqrt{t})^{4}%20%5c%5c
=%5cfrac{1}{6}(1-%5csqrt{t})^{4}
)
あとは，これを から まで積分すればよく，求める体積は，
^{4}dt
)
被積分関数を展開するのが面倒くさいので， と置換すると，
^{2}%20%5c%5c
%5ctherefore%20dt%20=%202(k-1)dk
)
であり，積分区間は， のとき， だから，
dk%20%5c%5c
=-%5cfrac{1}{3}%5cdisplaystyle%5cint_{0}^{1}k^{4}(k-1)dk%20%5c%5c
=-%5cfrac{1}{3}%5cdisplaystyle%5cint_{0}^{1}(k^{5}-k^{4})dk%20%5c%5c
=-%5cfrac{1}{3}[%5cfrac{1}{6}k^{6}-%5cfrac{1}{5}k^{5}]_{0}^{1}%20%5c%5c
=%5cfrac{1}{90}
)
ってな感じです．
ＰＳ．そぉ〜いえば，この問題を解いてて，昔の駿台の東大実戦模試に，これをちょっと難しくした問題が出てたのを思い出しました．．．
【昔の駿台の東大実戦の問題】------------------------------
 空間内に，次の不等式
で表される領域がある．領域の体積を求めよ．
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正月のお年玉（？）として，プレゼントしますので，是非演習してみて下さい．
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