数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[2]: Σk*2nC2k　の求め方 / Page: 0]

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■20512 / inTopicNo.1)

　Σk*2nC2k　の求め方

□投稿者/ satsuma 一般人(5回)-(2007/01/01(Mon) 23:52:07)

2007/01/02(Tue) 00:00:48 編集(投稿者)

$2$\sum\limits_{k = 1}^n {k_{2n}C_{2k}}$ 　の求め方なのですが、
$2$(1+x)^{2n} = \sum\limits_{j = 0}^{2n} {_{2n}C_jx^j}$ 　の等式から、
微分して、
$2$2n(1+x)^{2n-1} = \sum\limits_{j = 0}^{2n} {j_{2n}C_jx^{j-1}}$
x=1を代入して、
$2$2n2^{2n-1} = \sum\limits_{j = 1}^{2n} {j_{2n}C_j}$
x=-1を代入して
$2$0 = \sum\limits_{j = 1}^{2n} {j_{2n}C_j(-1)^{j-1}}$
で、片々引いて
$2$2n2^{2n-1} = 2\sum\limits_{j = 1}^n {j_{2n}C_{2j}}$
とやって、求めようとしたのですが、
答えが、n2^(2n-1)になってしまいます。
実際、答えはn2^(2n-2)なので、計算がどこか違うのだと思いますが、
どこが違うのかすべてを疑いの目でもってみても、見つけることができませんでした。
どなたか、ご教授お願いできないでしょうか。よろしくお願い致します。

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■20513 / inTopicNo.2)

　Re[1]

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□投稿者/ soredeha 一般人(8回)-(2007/01/02(Tue) 00:32:46)

最終行の右辺。

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■20515 / inTopicNo.3)

　Re[1]: Σk*2nC2k　の求め方

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□投稿者/ ウルトラマン付き人(54回)-(2007/01/02(Tue) 00:48:38)

satumaさん，新年明けまして，おめでとうございます．

辺々を引き算するところで，ちょっと計算ミスしているみたいです．

～～途中省略～～
> x=1を代入して、
> $2$2n2^{2n-1} = \sum\limits_{j = 1}^{2n} {j_{2n}C_j}$

この部分は詳しく書くと，
$2$ 2n\cdot2^{2n-1} = \sum_{j=1}^{2n} j_{2n}C_{j} \\ \Longleftrightarrow 2n\cdot2^{2n-1} = 1\cdot_{2n}C_{1}+2\cdot_{2n}C_{2}+3\cdot_{2n}C_{3}\cdots + 2n\cdot_{2n}C_{2n}$

> x=-1を代入して
> $2$0 = \sum\limits_{j = 1}^{2n} {j_{2n}C_j(-1)^{j-1}}$

この部分は詳しく書くと，
$2$ 0 = \sum_{j=1}^{2n} j_{2n}C_{j}(-1)^{j-1} \\ \Longleftrightarrow 0 = 1\cdot_{2n}C_{1} -2\cdot_{2n}C_{2}+3\cdot_{2n}C_{3}+\cdots -2n\cdot_{2n}C_{2n}$

辺々を引くと， $2$2-(-2)=4,4-(-4)=8,\cdots, 2n-(-2n)=4n$ となるから，
$2$ 2n\cdot2^{2n-1} = 4\cdot_{2n}C_{2} + 8\cdot_{2n}C_{4} + \cdots +4n\cdot_{2n}C_{2n} \\ \Longleftrightarrow 2n\cdot2^{2n-1} = 4\sum_{j=1}^{n} j_{2n}C_{2j}$
よって，
$2$ \sum_{j=1}^{n} j_{2n}C_{2j} = n\cdot 2^{2n-2}$
ってな感じです．

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■20519 / inTopicNo.4)

　Re[2]: Σk*2nC2k　の求め方

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□投稿者/ satsuma 一般人(6回)-(2007/01/02(Tue) 09:44:21)

> satsumaさん，新年明けまして，おめでとうございます．
おめでとうございます。。（あまり年が明けたという意識がなかった。。）

> 辺々を引くと， $2$2-(-2)=4,4-(-4)=8,\cdots, 2n-(-2n)=4n$ となるから，
> $2$ 2n\cdot2^{2n-1} = 4\cdot_{2n}C_{2} + 8\cdot_{2n}C_{4} + \cdots +4n\cdot_{2n}C_{2n} \\ \Longleftrightarrow 2n\cdot2^{2n-1} = 4\sum_{j=1}^{n} j_{2n}C_{2j}$
> よって，
> $2$ \sum_{j=1}^{n} j_{2n}C_{2j} = n\cdot 2^{2n-2}$
> ってな感じです．
なるほど、、2nをnに変えるときに、2倍されるのではなく4倍になるのですね。。
気づきませんでした。。
ウルトラマンさん、soredehaさん、どうもありがとうございました。

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