| ■20476 / inTopicNo.2) |
Re[1]: 積分の難問です。解ける方解説お願いです！！
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□投稿者/ ウルトラマン 付き人(51回)-(2006/12/30(Sat) 22:18:16)
 | ジンさん，こんばんわ．
> c>0とする。点A（0,1)を通る放物線y=-(x^2/c^2)+2/c+1とx軸の正の部分との交点をBとすると、直線ABの方程式はy={(1-√2)/c}x+1と表される。また、この放物線と直線ABとで囲まれる部分の面積が１であるとき、cを求めよ。
>
> どなたか、解説お願いします。本当に困ってます・・・（←自分は力つきました。あまりの計算の煩雑さに）
公式：
(x-%5cbeta)dx%20=%20-%5cfrac{1}{6}(%5cbeta-%5calpha)^{3}
)
を使うと計算が楽になります．
この問題の場合，放物線と直線の交点の 座標はそれぞれ，
c
)
ですから，囲まれた放物線と直線で囲まれた図形の面積は，
c}%20%5cleft%5c{%5cleft(-%5cfrac{x^{2}}{c^{2}}+%5cfrac{2}{c}+1%5cright)-%5cleft(%5cfrac{1-%5csqrt{2}}{c}x+1%5cright)%5cright%5c}dx%20%5c%5c
=-%5cfrac{1}{c^{2}}%5cdisplaystyle%5cint_{0}^{(%5csqrt{2}-1)c}x%5cleft%5c{x-(%5csqrt{2}-1)c%5cright%5c}dx%20%5c%5c
=%5cfrac{1}{c^{2}}%5cleft%5c{(%5csqrt{2}-1)c%5cright%5c}^{3}%20%5c%5c
=(%5csqrt{2}-1)^{3}c
)
となり，
^{3}c=1%20%5c%5c
%20%5cLongleftrightarrow%20(3-2%5csqrt{2})(%5csqrt{2}-1)c%20=%201%20%5c%5c
%20%5cLongleftrightarrow%20(-7+5%5csqrt{2})c%20=%201%20%5c%5c
%20%5cLongleftrightarrow%20c%20=%205%5csqrt{2}+7
)
ってな感じになるかと思います．
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