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■20343 / inTopicNo.1) 　積分です
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□投稿者/ 山さん 一般人(1回)-(2006/12/28(Thu) 01:03:57)
    曲線C：y=1/4(x^2-2logx)上の点[t,1/4(t^2-2logt)]をP(t)で表す。
    C上の異なる2点P(s),P(t)(0＜t＜1)における接線の傾きの和が0であるとき、
    次の問いに答えよ。ただしlogは自然対数である。
    (1)sをtの式で表せ。
    (2)点P(s)とP(t)の間の曲線Cの長さをｔを用いて表せ。
    (3)ｔが1より大きい値の範囲を動くとき、P(s)とP(t)を結ぶ線分の中点の軌跡の
    　　方程式を求めよ。


    誰か助けてください！！
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■20350 / inTopicNo.2) 　Re[1]: 積分です
□投稿者/ サボテン 付き人(78回)-(2006/12/28(Thu) 10:07:07)
    (1)まず接線を求めます。

    y'=x/2-1/(2x)

    y'(s)+y'(t)=0より、

    s+t-1/s-1/t=0
    両辺にstをかけて
    (s+t)(st-1)=0
    真数の条件からs,t>0より、s=1/t

    (2)0＜t＜1より、s>t
    P(s)とP(t)の間の曲線の長さは
    　∫_{t〜s}√(y'(x)^2+1)dx
    　で与えられます。

    　∫_{t〜s}√(y'(x)^2+1)dx=1/2∫_{t〜s}(x+1/x)dx
    =(s^2-t^2)/4+log(s/t)/2
    s=1/tを代入して、
    　
    =(1/t^2-t^2)/4-logt

    (3)中点は
    　x=(t+1/t)/2 y=(t^2+1/t^2)/8=[(t+1/t)^2-2]/8=x^2/2-1/4
    よってy=x^2/2-1/4
    あとはxの取りうる範囲を求めて見てください。相加相乗で求まると思います。

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