 | ■No20327に返信(わかばさんの記事)
> ∫[0→π/2]sin^n xdx を求めよ。ただし、ｎは正の整数。
I[k]=∫[0→π/2] sin^k x dx とおく
I[k]
=∫[0→π/2] {sin^(k-1) x}・sin x dx 部分積分
=∫[0→π/2] {sin^(k-1) x}・(-cos x)' dx
=[-cos x・{sin^(k-1) x}][0→π/2] + ∫[0→π/2] (k-1){sin^(k-2) x}(cos^2 x)dx
=0 + (k-1)∫[0→π/2] {sin^(k-2) x}(1-sin^2 x)dx
=(k-1){∫[0→π/2] {sin^(k-2) x}dx - ∫[0→π/2] sin^k x dx}
すなわち I[k]=(k-1)(I[k-2]-I[k])
∴ I[k]=(k-1)/k・I[k-2] (k≧2)
また
I[0]=∫[0→π/2] sin^0 x dx=∫[0→π/2] dx=1
I[1]=∫[0→π/2] sin x dx=π/2
ここで
k=2n のとき
I[2n]
=(2n-1)/2n・(2n-3)/(2n-2)・…・1/2・I[0]
=(2n-1)/2n・(2n-3)/(2n-2)・…・1/2・π/2
k=2n-1 のとき
I[2n-1]
=(2n-2)/(2n-1)・(2n-4)/(2n-3)・…・2/3・I[1]
=(2n-2)/(2n-1)・(2n-4)/(2n-3)・…・2/3・1
|
