数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[6]: 円と直線 / Page: 0]

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■20324 / inTopicNo.1)

　円と直線

□投稿者/ miff 一般人(1回)-(2006/12/27(Wed) 12:37:00)

はじめて書き込みさせて頂きます。
現在高校1年生なのですが、年始に定期試験があります。
冬休みの宿題から出題されるのですが、先生から問題集の答えしか渡されておらず、計算過程がわかりません･･･。
もしよろしければ、アドバイスお願いします。

＜問題＞
座標平面上に3点A(4, 1), B(0, 4), C(0, 1)を頂点とする三角形ABCがある。
(1)三角形ABCに内接する円の方程式を求めよ。
(2)(1)で求めた円の周上の点をPとし、点Pと辺BC、CA、ABの距離をそれぞれd1、d2、d3とする。L=d1+d2+d3のとりうる範囲を求めよ。

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■20325 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 円と直線

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□投稿者/ miff 一般人(2回)-(2006/12/27(Wed) 12:41:18)

すいません。解答を書き忘れました。

(1)は(x-1)^2+(y-2)^2=1
(2)は(15-√5)/5≦L≦(15+√5)/5

と書いてありました。

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■20353 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 円と直線

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□投稿者/ 豆付き人(55回)-(2006/12/28(Thu) 11:07:41)

円の中心の座標を(a,b)とすると、
各直線との距離が等しいので、AB：3x+4y-16=0を考慮して、
a=b-1=|3a+4b-16|/√(3^2+4^2)
これを解いて、a=1,b=2　　
よって、内接円の方程式は(x-1)^2+(y-2)^2=1

P(x,y)とすると、
L=x+y-1+(16-3x-4y)/5=(2x+y+11)/5
ここで、x=1+cosθ、y=2+sinθ　　(0≦θ＜2π)　と置けるので、
L=(2cosθ+sinθ+15)/5=(√5sin(θ+α)+15)/5　
よって、(15-√5)/5≦L≦(15+√5)/5

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■20395 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 円と直線

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□投稿者/ miff 一般人(3回)-(2006/12/29(Fri) 00:46:52)

豆さん、ありがとうございます。
かなり見当違いの解き方をしていました。

自分としましては、問１は内接する円の方程式を
(X-a)^2+(Y-b)=C^2　…(1)
として

ABを通る直線
3x+4y-16=0 …(2)
BCを通る直線
x=0 …(3)
ACを通る直線
y=1 …(4)

の(1)～(4)を連立させれば解けるのではないかと思っていたのですが、わけのわからない式になってできませんでした…。

問2は、円上の点Pのx座標とy座標を(t, ({4±√(-4x^2+8x)}/2)
として、点と直線の距離を使った公式で解こうと思ったのですが解けませんでした。計算が…

x=1+cosθ、y=2+sinθ　　(0≦θ＜2π)
の置き換えはまったくわからなかったです。

すごく参考になりました。
豆さん丁寧な解答ありがとうございます！！！

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■20400 / inTopicNo.5)

　Re[4]: 円と直線

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□投稿者/ 豆付き人(62回)-(2006/12/29(Fri) 08:09:49)

miffさんの解き方の方針としてはOKですけど、円と3x+4y-16=0
の接する条件を求める計算が少し大変そうなので、点と直線の距離
の公式の方が早そうですね。

問2に関しては、点と直線の距離の公式は使いますが、範囲を求める
のは三角関数への置換以外にもやり方があるので示しておきます。

円：(x-1)^2+(y-2)^2=1上の点に対してL=(2x+y+11)/5の値の範囲を
求めるのですが、x-1=X、y-2=Y、と考えれば、
L=(2(x-1)+(Y-2)+15)/5なので、
K=5L-15　とおけば、
X^2+Y^2=1に対して、2X+Y=Kの範囲を求めることになります。

上ではX=cosθ、Y=sinθと置き換えましたが、
【別解1】
Y=K-2Xを円の式に代入して、
5X^2-4KX+K^2-1=0
Xが実根を持つためには
D/4=4K^2-5(K^2-1)=-K^2+5≧0より
-√5≦K≦√5　
これからLの範囲が出ます。
【別解2】ちょっとした変形の工夫
(XYの項を作らずにX^2+Y^2の形を作る)
(2X+Y)^2+(X-2Y)^2=5(X^2+Y^2)=5
(X-2Y)^2=5-(2X+Y)^2≧0
∴-√5≦2X+Y≦√5

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■20401 / inTopicNo.6)

　Re[5]: 円と直線

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□投稿者/ miff 一般人(4回)-(2006/12/29(Fri) 09:25:03)

あわわわ！
豆さん、さらに詳しい解説ありがとうございます！

自分の文章がおかしかったせいで、さらに解説させてしまってすいません。

＞x=1+cosθ、y=2+sinθ　　(0≦θ＜2π)
＞の置き換えはまったくわからなかったです。

↑この文章なんですが、
x=1+cosθ、y=2+sinθの置き換えは自分ひとりでは、絶対考えつかなくて、まったくわからなかったです。

というつもりで書いていたのですが、言葉足らずですいませんでした！
sin,cosへの置き換えでの式は、納得して追うことが出来たので大丈夫だと思います。

あと、別解ありがとうございます！
別解1のやり方のほうが、sin、cosへの置き換えより簡単そうなので、このやり方を使わせて頂きます！

これで、この問題はテストに出ても100％解けると思います！（計算ミスしなければ）
豆さん本当にありがとうございました！！！

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■20402 / inTopicNo.7)

　Re[6]: 円と直線

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□投稿者/ miff 一般人(7回)-(2006/12/29(Fri) 09:27:01)

あー！
解決したら解決済みBOXにチェックいれないといけないんですね･･･
この見落としが、そもそもの間違いでした･･･
すいません。何回も投稿してしまって。

解決済み!

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