数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[4]: オイラーの微分方程式 / Page: 0]

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■20289 / inTopicNo.1)

　オイラーの微分方程式

□投稿者/ DMS 一般人(1回)-(2006/12/26(Tue) 18:49:58)

どうしても分からないことがあります。
下の画像が大きくてすみません。

下の画像の2の問題が分かりません。
途中まで解いたのですが、答えが画像の下に書いてあるようになるみたいです。

そこで、画像の右側に書いた一般解y0に特殊解Yを足せば答えになるのは分かるのですが
Y＝a/xとなるため、答えからすると、aがlogxにならなくてはなりません。
ですが、②’に上の3つを代入した結果、aがlogxになりません。

おそらく、画像の左側の１はあっていると思うので、右側の２のどこかの計算が間違っているのだと思います。お分かりの方がいましたらご教授お願いします。

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■20298 / inTopicNo.2)

　Re[1]: オイラーの微分方程式

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□投稿者/ mayu 一般人(1回)-(2006/12/26(Tue) 21:27:01)

Y=ae^(-t)とおくときaはtの関数で
Y=a(t)e^(-t)
Y'=a'(t)e^(-t)-a(t)e^(-t)
Y''=a''(t)e^(-t)-2a'(t)e^(-t)+a(t)e^(-t)
となる？

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■20299 / inTopicNo.3)

　Re[2]: オイラーの微分方程式

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□投稿者/ DMS 一般人(2回)-(2006/12/26(Tue) 22:00:25)

> Y=ae^(-t)とおくときaはtの関数で
> Y=a(t)e^(-t)
> Y'=a'(t)e^(-t)-a(t)e^(-t)
> Y''=a''(t)e^(-t)-2a'(t)e^(-t)+a(t)e^(-t)
> となる？

返信ありがとうございます。

特殊解を予想するときに、②'の右辺の形と同じくするために
aをつけているので、aは整数です。
あと、授業で解いた別の同じような問題でも
Y=ae^3t
Y'=3ae^3t
Y''=9ae^3t
となっているので、先ほどの画像のであってると思います。
すみません。

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■20300 / inTopicNo.4)

　Re[3]: オイラーの微分方程式

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□投稿者/ mayu 一般人(2回)-(2006/12/26(Tue) 22:34:33)

y''(t)+3y'(t)+2y(t)=e^(3t)
のときは特殊解をY＝ae^(3t)とおくと(aは定数)
左辺はe^(3t)の定数倍になるので右辺と等しくなるような
aを決めることができますが
e^(-t)は左辺の解となっているので無理ではないでしょうか

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■20301 / inTopicNo.5)

　Re[4]: オイラーの微分方程式

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□投稿者/ DMS 一般人(4回)-(2006/12/27(Wed) 00:20:05)

> y''(t)+3y'(t)+2y(t)=e^(3t)
> のときは特殊解をY＝ae^(3t)とおくと(aは定数)
> 左辺はe^(3t)の定数倍になるので右辺と等しくなるような
> aを決めることができますが
> e^(-t)は左辺の解となっているので無理ではないでしょうか

すみません。
先ほど返信したのは間違いでした（涙）。
一般解に既にe^(-t)が含まれているので、mayuさんのご指摘の通り
ここではate^(-t)とおくべきですね。
それで計算するとa=1となったので、Y=te^(-t)となる。
よって、x=e^tなので、t=log|x| , e^(-t)=1/xとなるので
Y=(log|x|/x)となりますね。

なんとか、無事解くことができました。
mayuさん、どうもありがとうございました。

解決済み!

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