 | > 2次関数 f(x)=ax^2-4ax+4a+b-5 がある。ただし、a、bは定数で、aは0でないとする。
> (1) y=f(x)のグラフが点(1,2)を通るとき、0≦x≦3を満たすすべてのxに対して、f(x)≧0であるようなaのとりうる値の範囲を求めよ。
2=f(1)=a*1^2-4a*1+4a+b-5=a+b-5
b=7-a
f(x)=ax^2-4ax+4a+(7-a)-5=ax^2-4ax+2+3a=a(x-2)^2+2-a≧0
a>0のとき
x=2でf(x)は最小値をとり、f(2)=2-a≧0, 0<a≦2
a<0のとき
x=0でf(x)は最小値をとり、f(0)=3a+2≧0, -2/3≦a<0
∴ -2/3≦a<0, 0<a≦2
> (2) a=1/2,b>2とする。点O(0,0),A(2b,0),B(0,21),C(b,21)に対し、y=f(x)のグラフが平行な2本の線分OA,BC(ただし、両端の点を含む)のいずれとも共有点を持たないとき、bのとりうる値の範囲を求めよ。
f(x)=ax^2-4ax+4a+b-5
=x^2/2-2x+b-3=(1/2)(x-2)^2+b-5
(i) f(x)の最小値f(2)=b-5>21のとき、b>26
(ii) 0<f(2)=b-5<21のとき、
f(0)<21,f(b)<21
0^2/2-2*0+b-3<21, b<24
b^2/2-b-3<21 , (b-8)(b+6)<0
∴5<b<8
(iii)f(2)=b-5<0のとき、
f(0)<0,f(2b)<0
0^2/2-2*0+b-3<0, b<3
(2b)^2/2-2(2b)+b-3=2b^2-3b-3<0, {6-√33}/4<b<{6+√33}/4
3-{6+√33}/4={6-√33}/4>{6-√36}/4=0
∴{6-√33}/4<b<{6+√33}/4
(i),(ii),(iii)より、
{6-√33}/4<b<{6+√33}/4, 5<b<8, 26<b
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