数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[2]: 積分 / Page: 0]

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■20134 / inTopicNo.1)

　積分

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□投稿者/ a 一般人(1回)-(2006/12/20(Wed) 19:03:59)

∫√tanｘdx
がどうなるか教えてください。積分範囲は０からπ/２です。

(携帯)

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■20138 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 積分

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□投稿者/ ウルトラマン一般人(30回)-(2006/12/21(Thu) 00:22:12)

> ∫√tanｘdx
> がどうなるか教えてください。積分範囲は０からπ/２です。
>
> (携帯)

え～と，
$2$ \sqrt{\tan x} = t,\quad (t\geq 0)$
と置換積分してみましょう．すると，
$2$ \tan x= t^{2} \\ \Longleftrightarrow x = \tan ^{-1} t^{2}$
であるから，
$2$ dx \\ =\left(\frac{dx}{dt}\right)dt \\ =\frac{1}{1+t^{4}}\cdot 2t \\ =\frac{2t}{1+t^{4}}$
より，(与式)は
$2$ \displaystyle\int_{0}^{\infty}t\cdot \frac{2t}{1+t^{4}}dt \\ =\displaystyle\int_{0}^{\infty}\frac{2t^{3}}{1+t^{4}}dt \\ =\frac{1}{2}\displaystyle\int_{0}^{\infty}\frac{(1+t^{4})'}{1+t^{4}}dt \\ =\frac{1}{2}[\log (1+t^{4})]_{0}^{\infty} \\ =\infty$
つまり，(与式)の広義定積分は，無限大( $2$\infty$ )に発散するといった感じでしょうか．．．

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■20187 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 積分

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□投稿者/ a 一般人(2回)-(2006/12/22(Fri) 11:36:02)

∞に発散していんですね!？ありがとうございました。

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