数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[1]: 積分 / Page: 0]

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■20101 / inTopicNo.1)

　積分

□投稿者/ yesterday 一般人(5回)-(2006/12/19(Tue) 01:25:00)

f(θ)=∫[0→1]（x+sinθ）^2dx,g(θ)=∫[0→1]（x+cosθ）^2dxとおくとき、
f(θ),g(θ)の大小を比較せよ。ただし0≦θ≦2πとする。

f(θ),g(θ)を計算して、引き算をして大小を比較しようと思ったのですが止まってしまいました。どなたかお願いします。

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■20110 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 積分

▲▼■

□投稿者/ 平木慎一郎大御所(640回)-(2006/12/19(Tue) 11:55:01)

■No20101に返信(yesterdayさんの記事)
> f(θ)=∫[0→1]（x+sinθ）^2dx,g(θ)=∫[0→1]（x+cosθ）^2dxとおくとき、
> f(θ),g(θ)の大小を比較せよ。ただし0≦θ≦2πとする。

$2$f(\theta)=\frac{(1+\sin \theta)^3}{3}-\frac{\sin ^3\theta}{3} , g(\theta)=\frac{(1+\cos \theta)^3}{3}-\frac{\cos ^3\theta}{3}$

$2$f(\theta)-g(\theta)=\frac{1}{3}\left{(1+\sin \theta)^3-(1+\cos \theta)^3\right}-\frac{\sin ^3\theta}{3}+\frac{\cos ^3\theta}{3}$
$2$=\sin \theta-\cos \theta+\sin ^2\theta-\cos ^2\theta$
$2$=(\sin \theta-\cos \theta)(\sin \theta+\cos \theta+1)$

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