 | ■No20039に返信(はまちさんの記事)
> x,y,zを正の整数とする。1/x+1/y+1/zが整数となる組(x,y,z)でx≦y≦zとなるもの考える。
> (1)xの取り得る値を求めよ。
> (2)(x,y,z)を全て求めよ。
1/x+1/y+1/z = k …①(k≧1,自然数)とおく。
(1)
1/x+1/x+1/x ≧ 1/x+1/y+1/z = k より
3/x ≧ k、3/k ≧ x (≧1)
k=1 のとき x=1,2,3、k=2 のとき x=1、k=3 のとき x=1、k≧4 のとき「なし」
以上より、x=1,2,3
(2)
k=1 のとき①は 1/x+1/y+1/z = 1
x=1 のとき 1/y+1/z = 0 より不適
x=2 のとき 1/y+1/z = 1/2 で
1/y+1/y ≧ 1/y+1/z =1/2 より
2/y ≧ 1/2、4 ≧ y、y=2,3,4
y=2 のとき 1/z = 0 で不適
y=3 のとき z=6
y=4 のとき z=4
x=3 のとき 1/y+1/z = 2/3 で
1/y+1/y ≧ 1/y+1/z =2/3 より
2/y ≧ 2/3、3 ≧ y、y=3
このとき z=3
k=2 のとき①は 1/x+1/y+1/z = 2
x=1 のとき 1/y+1/z = 1 で
1/y+1/y ≧ 1/y+1/z =1 より
2/y ≧ 1、2 ≧ y、y=1,2
y=1 のとき 1/z = 0 で不適
y=2 のとき z=2
k=3 のとき①は 1/x+1/y+1/z = 3
x=1 のとき 1/y+1/z = 2 で
1/y+1/y ≧ 1/y+1/z =2 より
2/y ≧ 2、1 ≧ y、y=1
このとき z=1
以上より
(x,y,z)=(2,3,6),(2,4,4),(3,3,3),(1,2,2),(1,1,1)
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