数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[1]: 数列 / Page: 0]

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■20024 / inTopicNo.1)

　数列

□投稿者/ みぃ一般人(1回)-(2006/12/16(Sat) 15:33:09)

数列｛a[n]｝はa[1]=3,a[2]=9/2,a[n+1]=pa[n]+6(n=1,2,3,・・)を満たしている。
ただしpは定数である。
xy平面上に点A[n](a[n],0)(n=1,2,3,・・)をとる。n本の線分の長さの和
A[1]A[2]+A[2]A[3]+A[3]A[4]+・・・・・+A[n]A[n+1]
をnで表せ。
という、問題が分からなくて困ってます。
どなたか教えて下さい！
答えは3{1-(1/2)^nです。}

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■20028 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 数列

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□投稿者/ ウルトラマン一般人(26回)-(2006/12/16(Sat) 21:13:16)

みぃさん，こんばんわ．

まず，
$2$ a_{2}=\frac{9}{2} \\ \Longleftrightarrow \frac{9}{2}=3p+6 \\ \Longleftrightarrow p=-\frac{1}{2}$
であるから，与えられた漸化式は，
$2$ a_{n+1}=-\frac{1}{2}a_{n}+6 \\ \Longleftrightarrow a_{n+1}-4 = -\frac{1}{2}(a_{n}-4)$
となり，これより $2$\{a_{n}-4\}$ は，初項が $2$a_{1}-4=-1$ ，公比が $2$\displaystyle\frac{1}{2}$ の等比数列であるから，
$2$ a_{n}-4=-\left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1} \\ \Longleftrightarrow a_{n}=4-\left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}$
よって，求める和は，
$2$ \sum_{k=1}^{n}a_{k}a_{k+1} \\ =\sum_{k=1}^{n}\left\{ 4-\left(-\frac{1}{2}\right)^{k-1}\right\} \left\{4-\left(-\frac{1}{2}\right)^{k}\right\} \\ =\sum_{k=1}^{n} \left\{ 16-4\left(-\frac{1}{2}\right)^{k} -4\left(-\frac{1}{2}\right)^{k-1} -\frac{1}{2}\left(\frac{1}{4}\right)^{k-1} \\ \right\} \\ =\sum_{k=1}^{n}\left\{ 16 -2\left(-\frac{1}{2}\right)^{k-1} -\frac{1}{2}\left(\frac{1}{4}\right)^{k-1} \right\}$
この先はみぃさんの方で頑張って見てください．

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■20030 / inTopicNo.3)

　Re[1]: 数列

▲▼■

□投稿者/ らすかる大御所(490回)-(2006/12/16(Sat) 21:55:00)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

a[n]=4-(-1/2)^(n-1) なので、各線分の長さは
|a[k+1]-a[k]|=|{4-(-1/2)^k}-{4-(-1/2)^(k-1)}|=|-(-1/2)^k+(-1/2)^(k-1)}|
kが偶数のとき
|a[k+1]-a[k]|=|-(1/2)^k-(1/2)^(k-1)|=(1/2)^k+(1/2)^(k-1)=3(1/2)^k
kが奇数のとき
|a[k+1]-a[k]|=|(1/2)^k+(1/2)^(k-1)|=(1/2)^k+(1/2)^(k-1)=3(1/2)^k
両者は一致するので、kの偶奇によらず
|a[k+1]-a[k]|=3(1/2)^k
よって求める和は
Σ[k=1～n]|a[k+1]-a[k]|
=Σ[k=1～n]3(1/2)^k
=3{1-(1/2)^n}

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