数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[2]: 漸化式 / Page: 0]

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■19996 / inTopicNo.1)

　漸化式

□投稿者/ やまとも一般人(47回)-(2006/12/14(Thu) 19:57:44)

2006/12/14(Thu) 20:02:50 編集(投稿者)
2006/12/14(Thu) 20:02:42 編集(投稿者)

漸化式a(1)=2,a(n+1)={2a(n)+5}/{a(n)+2} （n=1,2,・・・）によって
定義された数列｛a(n)｝がある。任意の自然数にｎに対して次の不等式が成り立つことを示せ。
（１）2≦a(n)≦2.25
（２）a(2n-1)＜√5＜a(2n)
（３）|a(n)-√5| ＜(1/4)^(2n-1)

（１）は示すことが出来たのですが・・・（２）（３）が出来ません。
どなたか教えてください。

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■20007 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 漸化式

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□投稿者/ だるまにおん一般人(3回)-(2006/12/15(Fri) 00:30:02)

(2)
a[1] = 2 ＜ √5
a[2] = 2.25 ＞ √5
なので n = 1 のとき成立．

n = k のときに成立すると仮定すると， n = k + 1 のとき…

a[2k-1] = (2a[2k-2] + 5)/(a[2k-2] + 2)
= 2 + 1/(a[2k-2] + 2)
＜ 2 + 1/(√5 + 2)
= √5

a[2k] = (2a[2k-1] + 5)/(a[2k-1] + 2)
= 2 + 1/(a[2k-1] + 2)
＞ 2 + 1/(√5 + 2)
= √5

したがって n = k + 1 のときにも成立．
以上より全ての自然数 n で a[2n-1] ＜ √5 ＜ a[2n] が成立．

(3)
|a[n] - √5|
= |(2a[n-1] + 5)/(a[n-1] + 2) - √5|
= |(2 - √5)/(a[n-1] + 2)| * |a[n-1] - √5|
= |1/{(a[n-1] + 2)(2 + √5)}| * |a[n-1] - √5|
＜ 1/{(2 + 2)(2 + 2)} * |a[n-1] - √5|
= 1/16 * |a[n-1] - √5|
＜ (1/16)^(n-1) * |a[1] - √5|
= (1/16)^(n-1) * 1/(2 + √5)
＜ (1/16)^(n-1) * 1/(2 + 2)
= (1/4)^(2n-1)

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■20033 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 漸化式

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□投稿者/ やまとも一般人(5回)-(2006/12/16(Sat) 23:14:05)

2006/12/16(Sat) 23:14:40 編集(投稿者)

だるまにおんさん、いつも丁寧な解答ありがとうございます。
とてもわかり易く感謝です。

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